物理的なテンソルの定義と例

更新 2021/03/28

物理でよく用いられる「テンソル」の定義を解説した後，テンソルの例として，反変ベクトル・共変ベクトル・スカラー・Kroneckerのデルタ・交代テンソルを紹介します。

物理的なテンソルの定義

テンソルとは以下のように定義されます。
テンソルの定義
座標 xμx^\muxμ から任意の座標 xμ′x^{\mu'}xμ′ へと座標変換することを考える。座標 xμx^\muxμ における数の組 TTT と，座標 xμ′x^{\mu'}xμ′ における数の組 TTT との間に
    Tγ′⋯δ′α′⋯β′=∂xα′∂xα⋯∂xβ′∂xβ⋅∂xγ∂xγ′⋯∂xδ∂xδ′Tγ⋯δα⋯β
        T^{\alpha'\cdots\beta'}_{\qquad\gamma'\cdots\delta'} = \dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}} \cdots \dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} \cdot \dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}}\cdots\dfrac{\partial x^{\delta}}{\partial x^{\delta'}}T^{\alpha\cdots\beta}_{\qquad\gamma\cdots\delta}
    Tγ′⋯δ′α′⋯β′​=∂xα∂xα′​⋯∂xβ∂xβ′​⋅∂xγ′∂xγ​⋯∂xδ′∂xδ​Tγ⋯δα⋯β​
    が成立するとき，TTT を(r,s)テンソルという。ここで Tγ⋯δα⋯β,Tγ′⋯δ′α′⋯β′T^{\alpha\cdots\beta}_{\qquad\gamma\cdots\delta}, T^{\alpha'\cdots\beta'}_{\qquad\gamma'\cdots\delta'}Tγ⋯δα⋯β​,Tγ′⋯δ′α′⋯β′​ はそれぞれの座標系における一つの成分であり，
    α′⋯β′,α⋯β\alpha'\cdots\beta', \alpha\cdots\betaα′⋯β′,α⋯β は rrr 個の変数，γ′⋯δ′,γ⋯δ\gamma'\cdots\delta', \gamma\cdots\deltaγ′⋯δ′,γ⋯δ は sss 個の変数である。
とてもわかりづらいと思うので，例を挙げます。
座標 x,y,zx,y,zx,y,z から任意の他の座標系 x′,y′,z′x',y',z'x′,y′,z′ に座標変換することを考えます。いちいち座標 x,y,zx,y,zx,y,z などと書くのが面倒なので，これを xμx^\muxμ とかくことにします。
x′,y′,z′x',y',z'x′,y′,z′ についても xμ′x^{\mu'}xμ′ と書くことにします。つまり μ\muμ というのは 1,2,31,2,31,2,3 の値をとるものであり，
x1=x, x2=y, x3=zx1′=x′, x2′=y′, x3′=z′\begin{aligned}
    x^{1} = x, \, x^{2} = y, \, x^{3} = z\\
    x^{1'} = x', \, x^{2'} = y', \, x^{3'} = z'
\end{aligned}x1=x,x2=y,x3=zx1′=x′,x2′=y′,x3′=z′​
です。このとき xμx^\muxμ における数の組を考えます。この数の組みは 
T111,T211,T311,T112,T212,T312,T113,T213,T313,T121,T221,T321,T122,T222,T322,T123,T223,T323,T131,T231,T331,T132,T232,T332,T133,T233,T333\begin{aligned}
    T^{11}_{1},T^{11}_{2},T^{11}_{3},T^{12}_{1},T^{12}_{2},T^{12}_{3},&T^{13}_{1},T^{13}_{2},T^{13}_{3},\\ 
    T^{21}_{1},T^{21}_{2},T^{21}_{3},&T^{22}_{1},T^{22}_{2},T^{22}_{3},T^{23}_{1},T^{23}_{2},T^{23}_{3},\\ 
    &T^{31}_{1},T^{31}_{2},T^{31}_{3},T^{32}_{1},T^{32}_{2},T^{32}_{3},T^{33}_{1},T^{33}_{2},T^{33}_{3}
\end{aligned}T111​,T211​,T311​,T112​,T212​,T312​,T121​,T221​,T321​,​T113​,T213​,T313​,T122​,T222​,T322​,T123​,T223​,T323​,T131​,T231​,T331​,T132​,T232​,T332​,T133​,T233​,T333​​
 という 272727 つの数の成分をもった組みであり，一般に α,β,γ\alpha, \beta, \gammaα,β,γ という 1,2,31,2,31,2,3 をとりうる変数を用いて TγαβT^{\alpha\beta}_{\gamma}Tγαβ​ と代表して表されます。
また，同様に xμ′x^{\mu'}xμ′ における数の組を同様に考え， Tγ′α′β′T^{\alpha'\beta'}_{\gamma'}Tγ′α′β′​ と代表して表します。
これらの組みに対し，全ての α′,β′,γ′\alpha', \beta', \gamma'α′,β′,γ′ の組み合わせに対して，
Tγ′α′β′=∂xα′∂xα∂xβ′∂xβ∂xγ∂xγ′Tγαβ
    T^{\alpha'\beta'}_{\gamma'} = \dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} T^{\alpha\beta}_{\gamma}
Tγ′α′β′​=∂xα∂xα′​∂xβ∂xβ′​∂xγ′∂xγ​Tγαβ​
が成立するとき，この数の組を TTT と呼ぶことにすれば，TTT は(2,1)テンソルと呼ばれます。
テンソルの定義の仕方にはいくつかの流派があります。物理では以上にあげたような方法で定義されることが多いです。テンソルはよく行列と混同されることがありますがその実体は全く異なっています。テンソルが物理で多用される理由や意味については別の記事で解説します。

反変ベクトル

反変ベクトル Aμ′A^{\mu'}Aμ′ を
Aμ′=∂xμ′∂xμAμ
A^{\mu'} = \dfrac{\partial{x^{\mu'}}}{\partial{x^{\mu}}}A^{\mu}
Aμ′=∂xμ∂xμ′​Aμ
と定義します。ちなみにこの定義より，反変ベクトルは(1,0)テンソルであると言うことができます。つまり，テンソルとはベクトルを拡張した概念だと言うこともできます。
反変ベクトルの例を考えてみます。
微小変位ベクトル
全微分の式から，
  dx′=∂x′∂xdx+∂x′∂ydy+∂x′∂zdz
      dx' = \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}}dx + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}}dy + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}}dz 
  dx′=∂x∂x′​dx+∂y∂x′​dy+∂z∂x′​dz
  などとかけます。これは反変ベクトルの定義を満たしており，
  dx=(dxdydz)
      d \boldsymbol{x} = \left(
      \begin{array}{c}
          dx\\
          dy\\
          dz\\
      \end{array}\right)
  dx=⎝⎛​dxdydz​⎠⎞​
  は反変ベクトルであるといえます。
空間座標
座標 xμx^\muxμ から座標 xμ′x^{\mu'}xμ′ への変換として
  x′=Ax
      \boldsymbol{x'} = A \boldsymbol{x} 
  x′=Ax
  と表せるときを考えます。簡単のため空間の次元は 333 とします。つまり，
  x′=(x′y′z′), A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)
  \boldsymbol{x'} = \left(
          \begin{array}{c}
              x'\\
              y'\\
              z'
          \end{array}
      \right), \,
      A = \left(
          \begin{array}{ccc}
              a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
              a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
              a_{31} & a_{32} & a_{33}\\
          \end{array}
      \right)
  x′=⎝⎛​x′y′z′​⎠⎞​,A=⎝⎛​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​⎠⎞​
  などとおけるとします。このとき
  x′=a11x+a12y+a13z
      x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z
  x′=a11​x+a12​y+a13​z
  であり，
  ∂x′∂x=a11,∂x′∂y=a12,∂x′∂z=a13
      \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}} = a_{11}, \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}} = a_{12}, \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}} = a_{13}
  ∂x∂x′​=a11​,∂y∂x′​=a12​,∂z∂x′​=a13​
  であることを考えると，
  x′=∂x′∂xx+∂x′∂yy+∂x′∂zz
      x' = \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}}x + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}}y + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}}z
  x′=∂x∂x′​x+∂y∂x′​y+∂z∂x′​z
  y′,z′y',z'y′,z′ についても同じことがいえるので，座標も反変ベクトルであると言えます。
座標が反変ベクトルであるのですから，これがベクトルの定義ですと言われても納得できるでしょう。

共変ベクトル

反変ベクトルと同様に，共変ベクトル $A_{\mu'}$ を $A_{\mu'} = \dfrac{\partial{x^{\mu}}}{\partial{x^{\mu'}}}A_{\mu}$ と定義します。ちなみにこの定義より，共変ベクトルは(0,1)テンソルであると言うことができます。

スカラー

座標変換により変化しない値をスカラーと呼びます。テンソルの定義から(0,0)テンソルであると言うこともできます。

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Kroneckerのデルタ

δνμ:=∂xμ∂xν
    \delta^\mu_\nu := \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}
δνμ​:=∂xν∂xμ​
で定義される δνμ\delta^\mu_\nuδνμ​ をKroneckerのデルタといいます。これは値としては，
δνμ:={1(μ=ν)0(μ≠ν)
    \delta^\mu_\nu := \begin{cases}
        1 & (\mu = \nu)\\
        0 & (\mu \neq \nu)\\
    \end{cases}
δνμ​:={10​(μ=ν)(μ=ν)​
を取ります。
一般にxμ→xμ′x^\mu \to x^{\mu'}xμ→xμ′なる変換を施すとき，
∂xν∂xν′∂xμ′∂xμδνμ=∂xν∂xν′∂xμ′∂xν=∂xμ′∂xν′=δν′μ′\begin{aligned}
    \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\delta^{\mu}_{\nu} = \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu'}} = \delta^{\mu'}_{\nu'}
\end{aligned}∂xν′∂xν​∂xμ∂xμ′​δνμ​=∂xν′∂xν​∂xν∂xμ′​=∂xν′∂xμ′​=δν′μ′​​
これにより，Kroneckerのデルタは(1,1)テンソルであることがわかります。

交代テンソル

ある共変ベクトル $A_\mu$ に対し， $\displaystyle B_{\mu\nu} = \dfrac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} - \dfrac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu}$ は(0,2)テンソルになることが知られています（これを交代テンソルと呼ぶことがあリます）。このことを以下に証明します。

証明

$A_\mu$ は共変テンソルなので， $A_{\mu'} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma}$ を満たす。 $\dfrac{\partial{A_{\mu'}}}{\partial{x^{\nu'}}} = \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\nu'}}} \left(\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma}\right) = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\alpha}}} \left(\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma}\right) = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}}$ ここで， $\dfrac{\partial}{\partial{x^{\alpha}}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}$ において， $\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}$ が定数の場合にはこの式は0になることを利用した。特殊相対論においては $\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}$ は定数であることが後にわかる。同様にすれば， $\dfrac{\partial{A_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} \dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}}$ これらにより， $\begin{aligned} \dfrac{\partial{A_{\mu'}}}{\partial{x^{\nu'}}}-\dfrac{\partial{A_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}}- \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} \dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}}\\ &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\left(\dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}}-\dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\\ \therefore B_{\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} B_{\alpha\sigma} \end{aligned}$ よって，題意は示された。

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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。