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物理的なテンソルの定義と例

更新日時 2021/03/28

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物理でよく用いられる「テンソル」の定義を解説した後,テンソルの例として,反変ベクトル・共変ベクトル・スカラー・Kroneckerのデルタ・交代テンソルを紹介します。

目次
  • 物理的なテンソルの定義

  • 反変ベクトル

  • 共変ベクトル

  • スカラー

  • Kroneckerのデルタ

  • 交代テンソル

物理的なテンソルの定義

テンソルとは以下のように定義されます。

テンソルの定義

座標 xμx^\mu から任意の座標 xμx^{\mu'} へと座標変換することを考える。座標 xμx^\mu における数の組 TT と,座標 xμx^{\mu'} における数の組 TT との間に Tγδαβ=xαxαxβxβxγxγxδxδTγδαβ T^{\alpha'\cdots\beta'}_{\qquad\gamma'\cdots\delta'} = \dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}} \cdots \dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} \cdot \dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}}\cdots\dfrac{\partial x^{\delta}}{\partial x^{\delta'}}T^{\alpha\cdots\beta}_{\qquad\gamma\cdots\delta} が成立するとき,TT を(r,s)テンソルという。ここで Tγδαβ,TγδαβT^{\alpha\cdots\beta}_{\qquad\gamma\cdots\delta}, T^{\alpha'\cdots\beta'}_{\qquad\gamma'\cdots\delta'} はそれぞれの座標系における一つの成分であり, αβ,αβ\alpha'\cdots\beta', \alpha\cdots\betarr 個の変数,γδ,γδ\gamma'\cdots\delta', \gamma\cdots\deltass 個の変数である。

とてもわかりづらいと思うので,例を挙げます。

座標 x,y,zx,y,z から任意の他の座標系 x,y,zx',y',z' に座標変換することを考えます。いちいち座標 x,y,zx,y,z などと書くのが面倒なので,これを xμx^\mu とかくことにします。 x,y,zx',y',z' についても xμx^{\mu'} と書くことにします。つまり μ\mu というのは 1,2,31,2,3 の値をとるものであり, x1=x,x2=y,x3=zx1=x,x2=y,x3=z\begin{aligned} x^{1} = x, \, x^{2} = y, \, x^{3} = z\\ x^{1'} = x', \, x^{2'} = y', \, x^{3'} = z' \end{aligned} です。このとき xμx^\mu における数の組を考えます。この数の組みは T111,T211,T311,T112,T212,T312,T113,T213,T313,T121,T221,T321,T122,T222,T322,T123,T223,T323,T131,T231,T331,T132,T232,T332,T133,T233,T333\begin{aligned} T^{11}_{1},T^{11}_{2},T^{11}_{3},T^{12}_{1},T^{12}_{2},T^{12}_{3},&T^{13}_{1},T^{13}_{2},T^{13}_{3},\\ T^{21}_{1},T^{21}_{2},T^{21}_{3},&T^{22}_{1},T^{22}_{2},T^{22}_{3},T^{23}_{1},T^{23}_{2},T^{23}_{3},\\ &T^{31}_{1},T^{31}_{2},T^{31}_{3},T^{32}_{1},T^{32}_{2},T^{32}_{3},T^{33}_{1},T^{33}_{2},T^{33}_{3} \end{aligned} という 2727 つの数の成分をもった組みであり,一般に α,β,γ\alpha, \beta, \gamma という 1,2,31,2,3 をとりうる変数を用いて TγαβT^{\alpha\beta}_{\gamma} と代表して表されます。

また,同様に xμx^{\mu'} における数の組を同様に考え, TγαβT^{\alpha'\beta'}_{\gamma'} と代表して表します。 これらの組みに対し,全ての α,β,γ\alpha', \beta', \gamma' の組み合わせに対して, Tγαβ=xαxαxβxβxγxγTγαβ T^{\alpha'\beta'}_{\gamma'} = \dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} T^{\alpha\beta}_{\gamma} が成立するとき,この数の組を TT と呼ぶことにすれば,TT は(2,1)テンソルと呼ばれます。

テンソルの定義の仕方にはいくつかの流派があります。物理では以上にあげたような方法で定義されることが多いです。テンソルはよく行列と混同されることがありますがその実体は全く異なっています。テンソルが物理で多用される理由や意味については別の記事で解説します。

反変ベクトル

反変ベクトル AμA^{\mu'}Aμ=xμxμAμ A^{\mu'} = \dfrac{\partial{x^{\mu'}}}{\partial{x^{\mu}}}A^{\mu} と定義します。ちなみにこの定義より,反変ベクトルは(1,0)テンソルであると言うことができます。つまり,テンソルとはベクトルを拡張した概念だと言うこともできます。

反変ベクトルの例を考えてみます。

  • 微小変位ベクトル

    全微分の式から, dx=xxdx+xydy+xzdz dx' = \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}}dx + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}}dy + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}}dz などとかけます。これは反変ベクトルの定義を満たしており, dx=(dxdydz) d \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} dx\\ dy\\ dz\\ \end{array}\right) は反変ベクトルであるといえます。

  • 空間座標

    座標 xμx^\mu から座標 xμx^{\mu'} への変換として x=Ax \boldsymbol{x'} = A \boldsymbol{x} と表せるときを考えます。簡単のため空間の次元は 33 とします。つまり, x=(xyz),A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33) \boldsymbol{x'} = \left( \begin{array}{c} x'\\ y'\\ z' \end{array} \right), \, A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{array} \right) などとおけるとします。このとき x=a11x+a12y+a13z x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z であり, xx=a11,xy=a12,xz=a13 \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}} = a_{11}, \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}} = a_{12}, \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}} = a_{13} であることを考えると, x=xxx+xyy+xzz x' = \dfrac{\partial{x'}}{\partial{x}}x + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{y}}y + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{z}}z y,zy',z' についても同じことがいえるので,座標も反変ベクトルであると言えます。

    座標が反変ベクトルであるのですから,これがベクトルの定義ですと言われても納得できるでしょう。

共変ベクトル

反変ベクトルと同様に, 共変ベクトル AμA_{\mu'}Aμ=xμxμAμ A_{\mu'} = \dfrac{\partial{x^{\mu}}}{\partial{x^{\mu'}}}A_{\mu} と定義します。ちなみにこの定義より,共変ベクトルは(0,1)テンソルであると言うことができます。

スカラー

座標変換により変化しない値をスカラーと呼びます。テンソルの定義から(0,0)テンソルであると言うこともできます。

Kroneckerのデルタ

δνμ:=xμxν \delta^\mu_\nu := \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}

で定義される δνμ\delta^\mu_\nuKroneckerのデルタといいます。これは値としては,

δνμ:={1(μ=ν)0(μν) \delta^\mu_\nu := \begin{cases} 1 & (\mu = \nu)\\ 0 & (\mu \neq \nu)\\ \end{cases}

を取ります。

一般にxμxμx^\mu \to x^{\mu'}なる変換を施すとき, xνxνxμxμδνμ=xνxνxμxν=xμxν=δνμ\begin{aligned} \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\delta^{\mu}_{\nu} = \dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu'}} = \delta^{\mu'}_{\nu'} \end{aligned} これにより,Kroneckerのデルタは(1,1)テンソルであることがわかります。

交代テンソル

ある共変ベクトル AμA_\mu に対し,Bμν=AμxνAνxμ\displaystyle B_{\mu\nu} = \dfrac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} - \dfrac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} は(0,2)テンソルになることが知られています(これを交代テンソルと呼ぶことがあリます)。このことを以下に証明します。

証明

AμA_\mu は共変テンソルなので, Aμ=xσxμAσ A_{\mu'} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma} を満たす。 Aμxν=xν(xσxμAσ)=xαxνxα(xσxμAσ)=xαxνxσxμAσxα \dfrac{\partial{A_{\mu'}}}{\partial{x^{\nu'}}} = \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\nu'}}} \left(\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma}\right) = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\alpha}}} \left(\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}A_{\sigma}\right) = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}} ここで,xαxσxμ\dfrac{\partial}{\partial{x^{\alpha}}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} において,xσxμ\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} が定数の場合にはこの式は0になることを利用した。特殊相対論においては xσxμ\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} は定数であることが後にわかる。 同様にすれば, Aνxμ=xσxμxαxνAαxσ \dfrac{\partial{A_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} \dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}} これらにより, AμxνAνxμ=xαxνxσxμAσxαxσxμxαxνAαxσ=xαxνxσxμ(AσxαAαxσ)Bμν=xαxνxσxμBασ\begin{aligned} \dfrac{\partial{A_{\mu'}}}{\partial{x^{\nu'}}}-\dfrac{\partial{A_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}}- \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} \dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}}\\ &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}}\left(\dfrac{\partial{A_{\sigma}}}{\partial{x^{\alpha}}}-\dfrac{\partial{A_{\alpha}}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\\ \therefore B_{\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} B_{\alpha\sigma} \end{aligned} よって,題意は示された。

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