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アインシュタインの縮約記法

更新日時 2021/03/27

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相対性理論では,添字が数多く登場します。ここでは,その計算を楽にするための記法を紹介します。

目次
  • Einsteinの縮約記法

Einsteinの縮約記法

数学では,添字に対して総和をとることを,\displaystyle\sum をつけて表しました。物理では,総和をとることを強調する時にはそうすることもありますが,面倒なので総和記号を無視して書くことがあります。たとえば, aμμ a^\mu_\mu という記号は, aμμ=a00+a11+a22+a33 a^\mu_\mu = a^0_0 + a^1_1 + a^2_2 + a^3_3 を表します。この記法のことをEinsteinの縮約記法,また単に,縮約記法と呼びます。他にも,和の記法,総和規約などと呼ばれることもあります。

添字の動く範囲は,その前後の議論の流れに依ります。慣例的に,0〜3を動く添字はギリシャ文字で,それ以外はアルファベットを用いて表されることが多いです。

他の例を見てみます。 aμbνcμ a^\mu b^\nu c^\mu aμbνcμ=a0bνc0+a1bνc1+a2bνc2+a3bνc3 a^\mu b^\nu c^\mu = a^0 b^\nu c^0 +a^1 b^\nu c^1 +a^2 b^\nu c^2 +a^3 b^\nu c^3 を表します。この例のように,「1つの項の中に2つ現れる添字は総和をとり,1つしか現れない添字は総和をとらない」と約束します。

さらに,たとえば aμbνcν+aαbσcσdμeα a^\mu b^\nu c^\nu + a^\alpha b^\sigma c^\sigma d^\mu e^\alpha は, ν=03aμbνcν+α=03σ=03aαbσcσdμeα \sum_{\nu = 0}^3 a^\mu b^\nu c^\nu + \sum_{\alpha = 0}^3 \sum_{\sigma = 0}^3 a^\alpha b^\sigma c^\sigma d^\mu e^\alpha を意味するということです。当然ですが, aμbβcβ+aγbδcδdμeγ a^\mu b^\beta c^\beta + a^\gamma b^\delta c^\delta d^\mu e^\gamma としても全く同じ式を表します。つまり,「総和をとる添字は,異なる添字に取り替えても構わない」といえます。

最初は戸惑うかもしれないが,使っているうちに慣れてきて当たり前になるので,違和感が拭えるまでは,頭のなかで総和記号を自分でつけながら数式を読んでください。以降,Einsteinの縮約記法を用いて数式を表現していきます。

では,ここでKroneckerのデルタ δνμ\delta^\mu_\nu と呼ばれる記号を先取りして,練習に使います。→物理的なテンソルの定義と例

δνμ\delta^\mu_\nu とは, δνμ={1(μ=ν)0(μν) \delta^\mu_\nu = \begin{cases} 1 & (\mu = \nu)\\ 0 & (\mu \neq \nu) \end{cases} を満たす記号です。δνμTσνλ\delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma という数を考えます。これは, δ0μTσ0λ+δ1μTσ1λ+δ2μTσ2λ+δ3μTσ3λ \delta^\mu_0 T^{0\lambda}_\sigma + \delta^\mu_1 T^{1\lambda}_\sigma + \delta^\mu_2 T^{2\lambda}_\sigma + \delta^\mu_3 T^{3\lambda}_\sigma を表します。これは μ\mu の値によって場合わけできて, δνμTσνλ={Tσ0λ(μ=0)Tσ1λ(μ=1)Tσ2λ(μ=2)Tσ3λ(μ=3) \delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma = \begin{cases} T^{0\lambda}_\sigma & (\mu = 0)\\ T^{1\lambda}_\sigma & (\mu = 1)\\ T^{2\lambda}_\sigma & (\mu = 2)\\ T^{3\lambda}_\sigma & (\mu = 3) \end{cases} となります。つまり, δνμTσνλ=Tσμλ \delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma = T^{\mu\lambda}_\sigma として差し支えありません。よって,Kroneckerのデルタとの掛け算を考える際,「添字の交換」のようなことをすることで,簡単に計算できます。極端な例ですが, δνμδσλδβαδδγTλαγν=Tσβδμ \delta^\mu_\nu \delta^\lambda_\sigma \delta^\alpha_\beta \delta^\gamma_\delta T^\nu_{\lambda\alpha\gamma} = T^\mu_{\sigma\beta\delta} などと計算できます。

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