アインシュタインの縮約記法

数学では，添字に対して総和をとることを，$\displaystyle\sum$ をつけて表しました。物理では，総和をとることを強調する時にはそうすることもありますが，面倒なので総和記号を無視して書くことがあります。たとえば， $$a^\mu_\mu$$ という記号は， $$a^\mu_\mu = a^0_0 + a^1_1 + a^2_2 + a^3_3$$ を表します。この記法のことをEinsteinの縮約記法，また単に，縮約記法と呼びます。他にも，和の記法，総和規約などと呼ばれることもあります。

添字の動く範囲は，その前後の議論の流れに依ります。慣例的に，0〜3を動く添字はギリシャ文字で，それ以外はアルファベットを用いて表されることが多いです。

他の例を見てみます。 $$a^\mu b^\nu c^\mu$$ は $$a^\mu b^\nu c^\mu = a^0 b^\nu c^0 +a^1 b^\nu c^1 +a^2 b^\nu c^2 +a^3 b^\nu c^3$$ を表します。この例のように，「1つの項の中に2つ現れる添字は総和をとり，1つしか現れない添字は総和をとらない」と約束します。

さらに，たとえば $$a^\mu b^\nu c^\nu + a^\alpha b^\sigma c^\sigma d^\mu e^\alpha$$ は， $$\sum_{\nu = 0}^3 a^\mu b^\nu c^\nu + \sum_{\alpha = 0}^3 \sum_{\sigma = 0}^3 a^\alpha b^\sigma c^\sigma d^\mu e^\alpha$$ を意味するということです。当然ですが， $$a^\mu b^\beta c^\beta + a^\gamma b^\delta c^\delta d^\mu e^\gamma$$ としても全く同じ式を表します。つまり，「総和をとる添字は，異なる添字に取り替えても構わない」といえます。

最初は戸惑うかもしれないが，使っているうちに慣れてきて当たり前になるので，違和感が拭えるまでは，頭のなかで総和記号を自分でつけながら数式を読んでください。以降，Einsteinの縮約記法を用いて数式を表現していきます。

では，ここでKroneckerのデルタ $\delta^\mu_\nu$ と呼ばれる記号を先取りして，練習に使います。→物理的なテンソルの定義と例

$\delta^\mu_\nu$ とは， $$\delta^\mu_\nu = \begin{cases} 1 & (\mu = \nu)\\ 0 & (\mu \neq \nu) \end{cases}$$ を満たす記号です。$\delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma$ という数を考えます。これは， $$\delta^\mu_0 T^{0\lambda}_\sigma + \delta^\mu_1 T^{1\lambda}_\sigma + \delta^\mu_2 T^{2\lambda}_\sigma + \delta^\mu_3 T^{3\lambda}_\sigma$$ を表します。これは $\mu$ の値によって場合わけできて， $$\delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma = \begin{cases} T^{0\lambda}_\sigma & (\mu = 0)\\ T^{1\lambda}_\sigma & (\mu = 1)\\ T^{2\lambda}_\sigma & (\mu = 2)\\ T^{3\lambda}_\sigma & (\mu = 3) \end{cases}$$ となります。つまり， $$\delta^\mu_\nu T^{\nu\lambda}_\sigma = T^{\mu\lambda}_\sigma$$ として差し支えありません。よって，Kroneckerのデルタとの掛け算を考える際，「添字の交換」のようなことをすることで，簡単に計算できます。極端な例ですが， $$\delta^\mu_\nu \delta^\lambda_\sigma \delta^\alpha_\beta \delta^\gamma_\delta T^\nu_{\lambda\alpha\gamma} = T^\mu_{\sigma\beta\delta}$$ などと計算できます。

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