重力波方程式

では，本題に入りましょう。再び，弱重力場の条件（→測地線方程式でやった近似と同じです）をつけます。このとき計量テンソルは $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ~~~(|h_{\mu\nu}| \ll 1)$$ とかけます。$g_{\mu\nu}$ の1階，2階微分も，$h_{\mu\nu}$ と同程度の微小量であるとします。ここで，新たに $$\phi_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}$$ とおきます。ただし，$h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ です。$\phi = \eta^{\mu\nu} \phi_{\mu\nu}$ とすると， $$\phi = \eta^{\mu\nu} \left(h_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}\right) = h - \dfrac{1}{2}h\cdot 4 = -h$$ これより， $$h_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}\phi\eta_{\mu\nu}$$ とかけます。ここで，座標変換 $x^\mu \to x^{\mu'}$ を考えます： $$x^{\mu'} = x^{\mu} + \xi^{\mu} ~~ (\iff x^{\mu} = x^{\mu'} - \xi^\mu)$$ $\xi^\mu$ は微小量であるとします。$x^{\mu'}$ での $h_{\mu\nu}$ の成分 $h_{\mu'\nu'}$ を求めます。 $$\begin{aligned} \eta_{\mu'\nu'} + h_{\mu'\nu'} &= g_{\mu'\nu'} = \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\nu'}} g_{\lambda\sigma}\\ &= \left(\delta^\lambda_\mu - \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\left(\delta^\sigma_\nu - \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}}\right)(\eta_{\lambda\sigma} + h_{\lambda\sigma})\\ &\approx \delta^\lambda_\mu\delta^\sigma_\nu\eta_{\lambda\sigma}- \delta^\lambda_\mu\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}}\eta_{\lambda\sigma} - \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\delta^\sigma_\nu\eta_{\lambda\sigma} + \delta^\lambda_\mu\delta^\sigma_\nu h_{\lambda\sigma}\\ &= \eta_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + h_{\mu\nu} \end{aligned}$$ ここで， $$\eta_{\mu'\nu'} = \eta_{\mu\nu}$$ また， $$\dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\sigma}}} =\dfrac{\partial{\xi^{\nu'}}}{\partial{x^{\sigma}}}\dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\nu'}}} = \left(\delta^{\nu'}_{\mu'} + \dfrac{\partial{\xi^\nu}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\nu'}}} = \dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\sigma'}}}$$ を用いて， $$h_{\mu'\nu'} = h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}$$ ここで， $$h' = \eta^{\mu'\nu'}h_{\mu'\nu'}, \phi_{\mu'\nu'} = h_{\mu'\nu'} - \dfrac{1}{2}h'\eta_{\mu'\nu'}$$ とおくと， $$\begin{aligned} h' &= \eta^{\mu\nu}\left(h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\\ &= h - 2 \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \phi_{\mu'\nu'} &= h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\left(h - 2 \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}}\right) \eta_{\mu\nu}\\ &= \phi_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + \eta_{\mu\nu} \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}} \end{aligned}$$ さらに，$\phi^{\mu'}_{\nu'} = \eta^{\lambda'\nu'} \phi_{\lambda'\nu'}$ を微分することを考えます。$\eta^{\lambda'\nu'} \phi_{\lambda'\nu'}$ は微小量だから， $$\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} = \left(\delta^\sigma_\mu - \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} \approx\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}}$$ より， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}} \left\{\eta^{\mu\nu} \left(\phi_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + \eta_{\mu\nu} \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}} (\eta^{\lambda\mu}\phi_{\lambda\nu}) - \dfrac{\partial^2 \xi^\mu}{\partial x^\mu \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\nu \partial x^\sigma} - \eta^{\lambda\mu} \eta_{\sigma\nu} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda} \end{aligned}$$ $\nu = 1,2,3$ のとき，$i' = \nu'$ とおいて， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{i'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \eta_{\sigma i} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \delta_{\sigma i} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \dfrac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \Box \xi^i \end{aligned}$$ $\nu = 0$ のとき， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{0'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \dfrac{\partial^2 \xi^0}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}} + \Box \xi^0 \end{aligned}$$ ここで，$\xi^\mu$ として， $$\Box \xi^\mu= \begin{cases} -\dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}}\\ \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} & (i = 1,2,3) \tag{1} \end{cases}$$ を取ることにします。ベクトル解析の定理として，以下のような定理があります：

この解を，波動方程式の特殊解と呼ぶことがあります。これにより，式 $(1)$ を満たす $\xi^\mu$ が必ず存在することが保証されています。この議論は電磁気学のLorenzゲージを考える際もしたと思います。

このとき， $$\dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} = 0 \tag{2}$$ が成立します。ここで， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}} (\eta^{\lambda'\mu'} \phi_{\lambda'\nu'})\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}}\left\{\eta^{\lambda'\mu'} \left(h_{\lambda'\nu'} - \dfrac{1}{2}h'\eta_{\lambda'\nu'}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}}\left(h^{\mu'}_{\nu'} - \dfrac{1}{2}h' \delta^{\mu'}_{\nu'}\right)\\ &= \dfrac{\partial{h^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{dh'}{dx^{\nu'}} \end{aligned}$$ であるから，$h_{\mu'\nu'}$ に対し， $$\dfrac{\partial{h^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{dh'}{dx^{\nu'}} = 0$$ が成立します。以下 $x^{\mu'}$ 系で考えます。面倒なのでプライムは省略します。

さて，Christoffel記号を計算すると，$\eta_{\mu\nu}$ は定数より， $$\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\sigma} &= \dfrac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{g_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{h_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{h_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{h_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right)\\ &\approx \dfrac{1}{2}\eta^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{h_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{h_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{h_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right) \end{aligned}$$ 曲率テンソルは $R_{\mu\nu\sigma\lambda} = g_{\mu\alpha} R^\alpha_{\nu\sigma\lambda}$ により計算すると， $$\begin{aligned} R_{\mu\nu\sigma\lambda} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 g_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2 g_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2g_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2g_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\\ &\quad\quad + g_{\alpha\beta} \left(\Gamma^\alpha_{\lambda\nu}\Gamma^\beta_{\sigma\mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma\nu}\Gamma^\beta_{\lambda\mu}\right) \end{aligned}$$ と表せる。第2項は微小量で構成されたChristoffelの記号の2次式なのでおちます。よって， $$\begin{aligned} R_{\mu\nu\sigma\lambda} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2 h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right) \end{aligned}$$ これより，Ricciテンソルは， $$\begin{aligned} R_{\nu\lambda} &= g^{\mu\sigma}R_{\mu\nu\sigma\lambda}\\ &\approx \dfrac{1}{2}\eta^{\mu\sigma} \left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h^\sigma_{\lambda}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h^\mu_{\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \eta^{\mu\sigma}\dfrac{\partial^2h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}}\left(\dfrac{\partial{h^\sigma_{\lambda}}}{\partial{x^\sigma}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{h}}{\partial{x^\lambda}}\right) + \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\lambda}}\left(\dfrac{\partial{h^\mu_{\nu}}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{h}}{\partial{x^\nu}}\right) - \Box h_{\lambda\nu}\right)\\ &= -\dfrac{1}{2} \Box h_{\nu\lambda} \end{aligned}$$ さらにスカラー曲率は， $$\begin{aligned} R &= g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} \approx \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\\ &= -\dfrac{1}{2}\Box (\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}) = -\dfrac{1}{2}\Box h \end{aligned}$$ よって， $$\begin{aligned} G_{\mu\nu} &= R_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = -\dfrac{1}{2} \Box h_{\nu\lambda} -\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\left(-\dfrac{1}{2}\Box h\right)\\ &= -\dfrac{1}{2}\Box \left(h_{\mu\nu} -\dfrac{1}{2}h \eta_{\mu\nu}\right) = -\dfrac{1}{2}\Box\phi_{\mu\nu} \end{aligned}$$ Einsteinの重力場方程式にこれを代入すれば， $$-\dfrac{1}{2}\Box\phi_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$ $$\therefore \Box\phi_{\mu\nu} = -\dfrac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \tag{3}$$ 式 $(3)$ は，Einsteinの重力波方程式と呼ばれます。

式 $(2)$ は，Maxwell方程式におけるLorenzゲージ $$\nabla\cdot \boldsymbol{A} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial{\phi}}{\partial{t}} = \nabla\cdot \boldsymbol{A} +\dfrac{\partial{(\phi/c)}}{\partial{(ct)}} = \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\mu}} = 0$$ に対応するものです。

さらに，式 $(3)$ は，Maxwell方程式における式： $$\Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu ~~(\mu = 0,1,2,3)$$ に対応するものです。

よって，Maxwell方程式から電磁波（光）が速さ $c$ で伝わる波であると導かれたのと全く同様に，式 $(2),(3)$ から重力は速さ $c$ で伝わる波であることがわかります。

万有引力の法則では，重力は瞬時に伝わるものと解釈されていました。しかし，このことから重力が伝わるのにも時間がかかることが示されたのです。

重力波を観測するのは非常に困難でした。この事実を理論的に導いたEinstein自身でさえも，重力波の検出の可能性を疑っていたほどです。 これが実験的に確認されたのは最近のことです。なんと観測までに1世紀程度の時間がかかっているのです。困難を極めた観測を成功させた 実験者たちを尊敬するとともに，理論物理の偉大さを認めざるをえない出来事となりました。

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