重力波方程式

更新日時 2021/04/09

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個人的に相対論で一番感動するのはこの節で紹介する話題です。Einsteinの重力場方程式から,重力は波のように伝わっていくことが導出されます。 重力波は遠隔作用で一瞬で伝わるのではなく,近接作用,つまり有限の時間をかけて伝わるものであることが証明されます。 これはEinsteinが相対論についての論文を出した頃には,到底観測することは難しいもの(実際に観測されたのはなんと2015年です!)であり,理論的に予言することしかできないものでした。 理論の素晴らしさに感服するほかありません。ここまで読めている皆さんなら,この感動を分かち合えると思います。

目次
  • 重力波方程式の導出

  • 重力波方程式とMaxwell方程式の対応

重力波方程式の導出

では,本題に入りましょう。再び,弱重力場の条件(→測地線方程式でやった近似と同じです)をつけます。このとき計量テンソルは gμν=ημν+hμν   (hμν1) g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ~~~(|h_{\mu\nu}| \ll 1) とかけます。gμνg_{\mu\nu} の1階,2階微分も,hμνh_{\mu\nu} と同程度の微小量であるとします。ここで,新たに ϕμν=hμν12hημν \phi_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}h\eta_{\mu\nu} とおきます。ただし,h=ημνhμνh = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu} です。ϕ=ημνϕμν\phi = \eta^{\mu\nu} \phi_{\mu\nu} とすると, ϕ=ημν(hμν12hημν)=h12h4=h \phi = \eta^{\mu\nu} \left(h_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}\right) = h - \dfrac{1}{2}h\cdot 4 = -h これより, hμν=ϕμν12ϕημν h_{\mu\nu} = \phi_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}\phi\eta_{\mu\nu} とかけます。ここで,座標変換 xμxμx^\mu \to x^{\mu'} を考えます: xμ=xμ+ξμ  (    xμ=xμξμ) x^{\mu'} = x^{\mu} + \xi^{\mu} ~~ (\iff x^{\mu} = x^{\mu'} - \xi^\mu) ξμ\xi^\mu は微小量であるとします。xμx^{\mu'} での hμνh_{\mu\nu} の成分 hμνh_{\mu'\nu'} を求めます。 ημν+hμν=gμν=xλxμxσxνgλσ=(δμλξλxμ)(δνσξσxν)(ηλσ+hλσ)δμλδνσηλσδμλξσxνηλσξλxμδνσηλσ+δμλδνσhλσ=ημνημσξσxνηλνξλxμ+hμν\begin{aligned} \eta_{\mu'\nu'} + h_{\mu'\nu'} &= g_{\mu'\nu'} = \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\nu'}} g_{\lambda\sigma}\\ &= \left(\delta^\lambda_\mu - \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\left(\delta^\sigma_\nu - \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}}\right)(\eta_{\lambda\sigma} + h_{\lambda\sigma})\\ &\approx \delta^\lambda_\mu\delta^\sigma_\nu\eta_{\lambda\sigma}- \delta^\lambda_\mu\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}}\eta_{\lambda\sigma} - \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\delta^\sigma_\nu\eta_{\lambda\sigma} + \delta^\lambda_\mu\delta^\sigma_\nu h_{\lambda\sigma}\\ &= \eta_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + h_{\mu\nu} \end{aligned} ここで, ημν=ημν \eta_{\mu'\nu'} = \eta_{\mu\nu} また, ξμxσ=ξνxσξμxν=(δμν+ξνxσ)ξμxν=ξμxσ \dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\sigma}}} =\dfrac{\partial{\xi^{\nu'}}}{\partial{x^{\sigma}}}\dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\nu'}}} = \left(\delta^{\nu'}_{\mu'} + \dfrac{\partial{\xi^\nu}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\nu'}}} = \dfrac{\partial{\xi^\mu}}{\partial{x^{\sigma'}}} を用いて, hμν=hμνημσξσxνηλνξλxμ h_{\mu'\nu'} = h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} ここで, h=ημνhμν,ϕμν=hμν12hημν h' = \eta^{\mu'\nu'}h_{\mu'\nu'}, \phi_{\mu'\nu'} = h_{\mu'\nu'} - \dfrac{1}{2}h'\eta_{\mu'\nu'} とおくと, h=ημν(hμνημσξσxνηλνξλxμ)=h2ξσxσ\begin{aligned} h' &= \eta^{\mu\nu}\left(h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\\ &= h - 2 \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}} \end{aligned} ϕμν=hμνημσξσxνηλνξλxμ12(h2ξσxσ)ημν=ϕμνημσξσxνηλνξλxμ+ημνξσxσ\begin{aligned} \phi_{\mu'\nu'} &= h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\left(h - 2 \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}}\right) \eta_{\mu\nu}\\ &= \phi_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + \eta_{\mu\nu} \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}} \end{aligned} さらに,ϕνμ=ηλνϕλν\phi^{\mu'}_{\nu'} = \eta^{\lambda'\nu'} \phi_{\lambda'\nu'} を微分することを考えます。ηλνϕλν\eta^{\lambda'\nu'} \phi_{\lambda'\nu'} は微小量だから, xμ=xσxμxσ=(δμσξσxμ)xσxμ \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}} = \dfrac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} = \left(\delta^\sigma_\mu - \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\mu'}}}\right)\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} \approx\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}} より, ϕνμxμ=xμ{ημν(ϕμνημσξσxνηλνξλxμ+ημνξσxσ)}=xμ(ηλμϕλν)2ξμxμxν+2ξσxνxσηλμησν2ξσxμxλ\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}} \left\{\eta^{\mu\nu} \left(\phi_{\mu\nu} - \eta_{\mu\sigma}\dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}} - \eta_{\lambda\nu} \dfrac{\partial{\xi^\lambda}}{\partial{x^{\mu'}}} + \eta_{\mu\nu} \dfrac{\partial{\xi^\sigma}}{\partial{x^{\sigma}}}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}} (\eta^{\lambda\mu}\phi_{\lambda\nu}) - \dfrac{\partial^2 \xi^\mu}{\partial x^\mu \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\nu \partial x^\sigma} - \eta^{\lambda\mu} \eta_{\sigma\nu} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda} \end{aligned} ν=1,2,3\nu = 1,2,3 のとき,i=νi' = \nu' とおいて, ϕiμxμ=ϕiμxμηλμησi2ξσxμxλ=ϕiμxμηλμδσi2ξσxμxλ=ϕiμxμηλμ2ξixμxλ=ϕiμxμξi\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{i'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \eta_{\sigma i} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \delta_{\sigma i} \dfrac{\partial^2 \xi^\sigma}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \dfrac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} - \Box \xi^i \end{aligned} ν=0\nu = 0 のとき, ϕ0μxμ=ϕ0μxμηλμ2ξ0xμxλ=ϕ0μxμ+ξ0\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{0'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}} - \eta^{\lambda\mu} \dfrac{\partial^2 \xi^0}{\partial x^\mu \partial x^\lambda}\\ &= \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}} + \Box \xi^0 \end{aligned} ここで,ξμ\xi^\mu として, ξμ={ϕ0μxμϕiμxμ(i=1,2,3)(1) \Box \xi^\mu= \begin{cases} -\dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{0}}}{\partial{x^{\mu}}}\\ \dfrac{\partial{\phi^{\mu}_{i}}}{\partial{x^{\mu}}} & (i = 1,2,3) \tag{1} \end{cases} を取ることにします。ベクトル解析の定理として,以下のような定理があります:

領域 VV の外で0の値をとり,x,t\boldsymbol{x},t の関数である f(x,t)f(\boldsymbol{x}, t) に対して, ϕ(x,t)=14πVf(y,t±yxc)yxdV \phi(\boldsymbol{x}, t) = \dfrac{1}{4\pi} \int_V \dfrac{f\left(\boldsymbol{y}, t \pm \dfrac{\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|}{c}\right)}{\|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|}dV は, ϕ(x,t)=f(x,t) \Box \phi(\boldsymbol{x},t) = -f(\boldsymbol{x}, t) の解である。

この解を,波動方程式の特殊解と呼ぶことがあります。これにより,式 (1)(1) を満たす ξμ\xi^\mu が必ず存在することが保証されています。この議論は電磁気学のLorenzゲージを考える際もしたと思います。

このとき, ϕνμxμ=0(2) \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} = 0 \tag{2} が成立します。ここで, ϕνμxμ=xμ(ηλμϕλν)=xμ{ηλμ(hλν12hηλν)}=xμ(hνμ12hδνμ)=hνμxμ12dhdxν\begin{aligned} \dfrac{\partial{\phi^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}} (\eta^{\lambda'\mu'} \phi_{\lambda'\nu'})\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}}\left\{\eta^{\lambda'\mu'} \left(h_{\lambda'\nu'} - \dfrac{1}{2}h'\eta_{\lambda'\nu'}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\mu'}}}\left(h^{\mu'}_{\nu'} - \dfrac{1}{2}h' \delta^{\mu'}_{\nu'}\right)\\ &= \dfrac{\partial{h^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{dh'}{dx^{\nu'}} \end{aligned} であるから,hμνh_{\mu'\nu'} に対し, hνμxμ12dhdxν=0 \dfrac{\partial{h^{\mu'}_{\nu'}}}{\partial{x^{\mu'}}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{dh'}{dx^{\nu'}} = 0 が成立します。以下 xμx^{\mu'} 系で考えます。面倒なのでプライムは省略します。

さて,Christoffel記号を計算すると,ημν\eta_{\mu\nu} は定数より, Γνσμ=12gμλ(gνλxλ+gσλxνgνσxλ)=12gμλ(hνλxλ+hσλxνhνσxλ)12ημλ(hνλxλ+hσλxνhνσxλ)\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\sigma} &= \dfrac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{g_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}g^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{h_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{h_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{h_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right)\\ &\approx \dfrac{1}{2}\eta^{\mu\lambda}\left(\dfrac{\partial{h_{\nu\lambda}}}{\partial{x^\lambda}} + \dfrac{\partial{h_{\sigma\lambda}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{h_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right) \end{aligned} 曲率テンソルは Rμνσλ=gμαRνσλαR_{\mu\nu\sigma\lambda} = g_{\mu\alpha} R^\alpha_{\nu\sigma\lambda} により計算すると, Rμνσλ=12(2gλμxσxν+2gσνxλxμ2gσμxλxν2gλνxσxμ)+gαβ(ΓλναΓσμβΓσναΓλμβ)\begin{aligned} R_{\mu\nu\sigma\lambda} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 g_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2 g_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2g_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2g_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\\ &\quad\quad + g_{\alpha\beta} \left(\Gamma^\alpha_{\lambda\nu}\Gamma^\beta_{\sigma\mu} - \Gamma^\alpha_{\sigma\nu}\Gamma^\beta_{\lambda\mu}\right) \end{aligned} と表せる。第2項は微小量で構成されたChristoffelの記号の2次式なのでおちます。よって, Rμνσλ=12(2hλμxσxν+2hσνxλxμ2hσμxλxν2hλνxσxμ)\begin{aligned} R_{\mu\nu\sigma\lambda} &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2 h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right) \end{aligned} これより,Ricciテンソルは, Rνλ=gμσRμνσλ12ημσ(12(2hλμxσxν+2hσνxλxμ2hσμxλxν2hλνxσxμ))=1212(2hλσxσxν+2hνμxλxμ2hxλxνημσ2hλνxσxμ)=12(xν(hλσxσ12hxλ)+xλ(hνμxμ12hxν)hλν)=12hνλ\begin{aligned} R_{\nu\lambda} &= g^{\mu\sigma}R_{\mu\nu\sigma\lambda}\\ &\approx \dfrac{1}{2}\eta^{\mu\sigma} \left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h_{\lambda\mu}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h_{\sigma\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h_{\sigma\mu}}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \dfrac{\partial^2h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2 h^\sigma_{\lambda}}{\partial x^\sigma \partial x^\nu} + \dfrac{\partial^2h^\mu_{\nu}}{\partial x^\lambda \partial x^\mu} - \dfrac{\partial^2h}{\partial x^\lambda \partial x^\nu} - \eta^{\mu\sigma}\dfrac{\partial^2h_{\lambda\nu}}{\partial x^\sigma \partial x^\mu}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}}\left(\dfrac{\partial{h^\sigma_{\lambda}}}{\partial{x^\sigma}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{h}}{\partial{x^\lambda}}\right) + \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\lambda}}\left(\dfrac{\partial{h^\mu_{\nu}}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{h}}{\partial{x^\nu}}\right) - \Box h_{\lambda\nu}\right)\\ &= -\dfrac{1}{2} \Box h_{\nu\lambda} \end{aligned} さらにスカラー曲率は, R=gμνRμνημνRμν=12(ημνhμν)=12h\begin{aligned} R &= g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} \approx \eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\\ &= -\dfrac{1}{2}\Box (\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}) = -\dfrac{1}{2}\Box h \end{aligned} よって, Gμν=Rμν12gμνR=12hνλ12ημν(12h)=12(hμν12hημν)=12ϕμν\begin{aligned} G_{\mu\nu} &= R_{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R = -\dfrac{1}{2} \Box h_{\nu\lambda} -\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\left(-\dfrac{1}{2}\Box h\right)\\ &= -\dfrac{1}{2}\Box \left(h_{\mu\nu} -\dfrac{1}{2}h \eta_{\mu\nu}\right) = -\dfrac{1}{2}\Box\phi_{\mu\nu} \end{aligned} Einsteinの重力場方程式にこれを代入すれば, 12ϕμν=8πGc4Tμν -\dfrac{1}{2}\Box\phi_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} ϕμν=16πGc4Tμν(3) \therefore \Box\phi_{\mu\nu} = -\dfrac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} \tag{3} (3)(3) は,Einsteinの重力波方程式と呼ばれます。

重力波方程式とMaxwell方程式の対応

(2)(2) は,Maxwell方程式におけるLorenzゲージ A+1c2ϕt=A+(ϕ/c)(ct)=Aμxμ=0 \nabla\cdot \boldsymbol{A} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial{\phi}}{\partial{t}} = \nabla\cdot \boldsymbol{A} +\dfrac{\partial{(\phi/c)}}{\partial{(ct)}} = \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\mu}} = 0 に対応するものです。

さらに,式 (3)(3) は,Maxwell方程式における式: Aμ=μ0jμ  (μ=0,1,2,3) \Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu ~~(\mu = 0,1,2,3) に対応するものです。

よって,Maxwell方程式から電磁波(光)が速さ cc で伝わる波であると導かれたのと全く同様に,式 (2),(3)(2),(3) から重力は速さ cc で伝わる波であることがわかります。

万有引力の法則では,重力は瞬時に伝わるものと解釈されていました。しかし,このことから重力が伝わるのにも時間がかかることが示されたのです。

重力波を観測するのは非常に困難でした。この事実を理論的に導いたEinstein自身でさえも,重力波の検出の可能性を疑っていたほどです。 これが実験的に確認されたのは最近のことです。なんと観測までに1世紀程度の時間がかかっているのです。困難を極めた観測を成功させた 実験者たちを尊敬するとともに,理論物理の偉大さを認めざるをえない出来事となりました。

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