測地線方程式

特殊相対論において， $$m\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = F^\mu$$ が成立します。よって一般相対論においても，ある点において局所慣性系を考え，対象となる物体に力がかかっていないなら，等価原理より $$\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = 0$$ が成立します。ここで，$x^\mu$ は局所慣性系の座標です。 $$\dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} = \dfrac{d}{d\tau}\left(\dfrac{x^\mu}{\tau}\right) = \dfrac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\dfrac{dx^\mu}{d\tau}\right)\dfrac{dx^\mu}{d\tau}$$ であるから，これを一般座標系 $u^\mu$ に置き換えれば， $$\begin{aligned} \nabla_\nu \left(\dfrac{du^\mu}{d\tau}\right)\dfrac{du^\nu}{d\tau} &= \left(\dfrac{\partial{}}{\partial{u^\nu}}\left(\dfrac{du^\mu}{d\tau}\right) + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \dfrac{du^\sigma}{d\tau}\right)\dfrac{du^\nu}{d\tau}\\ &= \dfrac{d}{d\tau}\left(\dfrac{du^\mu}{d\tau}\right) + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \dfrac{du^\sigma}{d\tau}\dfrac{du^\nu}{d\tau} \end{aligned}$$ $$\therefore \dfrac{d^2 u^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \dfrac{du^\nu}{d\tau}\dfrac{du^\sigma}{d\tau} = 0 \tag{1}$$ 式 $(1)$ を，一般座標系における測地線方程式と呼びます。

局所慣性系では重力が消えるように座標系をとっていましたが，一般座標系では重力があったはずです。つまり， $$\dfrac{d^2 u^\mu}{d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \dfrac{du^\nu}{d\tau}\dfrac{du^\sigma}{d\tau}$$ とすれば，右辺，つまり $\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$ に重力の情報が含まれているはずです。これは計量テンソルにより作られるので， $g_{\mu\nu}$ には重力の情報が入っていることになるます。

計量テンソルというのは，線素を決める要素でもありました。言い換えれば計量テンソルは空間の長さを決めるものであると言えます。ということは， 重力は空間を曲げている，と考えることができるわけです。

測地線方程式は運動方程式を元にしているから，Newtonの運動方程式と比べてみることができるはずです。 以下のような設定で議論します（Newtonの運動方程式は条件の1,2番目が成立していれば使うことができます。ただ，議論を簡潔にするために，他の条件を加えて設定している，ということにすぎません）。

• 条件1:非相対論的極限：$\gamma = 1$
• 条件2:弱重力場：$g_{\mu\nu}$ と $\eta_{\mu\nu}$ は近い
• 条件3:定常な重力場 : $\displaystyle\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^0}} = 0$
• 条件4:十分遠方では重力はない：$r \to \infty$ では， $\phi \to 0,~g_{\mu\nu} \to \eta_{\mu\nu}$

2より， $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ~~ (|h_{\mu\nu}| \ll 1)$$ とおくことができます。これを用いて，$\Gamma^\mu_{\nu\sigma}$ を計算していきます。 $$\Gamma^\mu_{00} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{x^0}}+\dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{x^0}}-\dfrac{\partial{g_{0 0}}}{\partial{x^\nu}}\right) = \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}\left(-\dfrac{\partial{g_{0 0}}}{\partial{x^\nu}}\right)$$ ここで最後の変形には，条件3を使っています。 $$\dfrac{\partial{g_{0 0}}}{\partial{x^\nu}} = \dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^\nu}}$$ であり，これは微小項です。よって， $$\Gamma^\mu_{00} \approx \dfrac{1}{2} \eta^{\mu\nu}\left(- \dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^\nu}}\right)$$ $\mu = 1,2,3$ のとき，これを $\mu = i$ として， $$\Gamma^i_{00} = \dfrac{1}{2}\eta^{i\nu}\left( -\dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^\nu}}\right) = \dfrac{1}{2}\left( -\dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^i}}\right)$$ $\mu = 0$ のとき， $$\Gamma^0_{00} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^0}} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{g_{0 0}}}{\partial{x^0}} = 0$$ ここで，測地線方程式において，$\mu = 1$ とすると， $$\begin{aligned} &\dfrac{d^2 x^1}{d\tau^2} + \Gamma^1_{\nu\sigma}\dfrac{dx^\nu}{d\tau}\dfrac{dx^\sigma}{d\tau}\\ &= \dfrac{d^2 x^1}{d\tau^2} + \Gamma^1_{00}\dfrac{dx^0}{d\tau}\dfrac{dx^0}{d\tau} + 2\Gamma^1_{0\sigma}\dfrac{dx^0}{d\tau}\dfrac{dx^\sigma}{d\tau} + \Gamma^1_{jk}\dfrac{dx^j}{d\tau}\dfrac{dx^k}{d\tau}\\ &= 0 \end{aligned}$$ ただし，$j,k$ は1,2,3を動きます。同様にすれば $i = 1,2,3$ に対し， $$\dfrac{d^2 x^i}{d\tau^2} + \Gamma^i_{00}\dfrac{dx^0}{d\tau}\dfrac{dx^0}{d\tau} + 2\Gamma^i_{0\sigma}\dfrac{dx^0}{d\tau}\dfrac{dx^\sigma}{d\tau} + \Gamma^i_{jk}\dfrac{dx^j}{d\tau}\dfrac{dx^k}{d\tau} = 0 \quad\quad(2)$$ ここで，→一般相対性理論における固有時における式： $$\dfrac{d\tau}{du^0} = \dfrac{1}{c} \sqrt{-g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu}$$により， $$\begin{aligned} d\tau &= \dfrac{dx^0}{c}\sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{dx^0} \dfrac{dx^\nu}{dx^0}}\\ &= dt \cdot \dfrac{1}{c} \sqrt{-g_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{dt} \dfrac{dx^\nu}{dt}}\\ &= \dfrac{dt}{c} \left\{1 + \dfrac{h_{\mu\nu} \dfrac{dx^\mu}{dt}\dfrac{dx^\nu}{dt}}{\eta_{\mu\nu} \dfrac{dx^\mu}{dt}\dfrac{dx^\nu}{dt}}\right\}^\dfrac{1}{2} \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{dt} \dfrac{dx^\nu}{dt}}\\ &\approx \dfrac{dt}{c} \left\{1 + \dfrac{h_{\mu\nu} \dfrac{dx^\mu}{dt}\dfrac{dx^\nu}{dt}}{2\eta_{\mu\nu} \dfrac{dx^\mu}{dt}\dfrac{dx^\nu}{dt}}\right\} \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{dt} \dfrac{dx^\nu}{dt}}\\ &\approx \dfrac{dt}{c} \sqrt{-\eta_{\mu\nu}\dfrac{dx^\mu}{dt} \dfrac{dx^\nu}{dt}}\\ &= \dfrac{1}{\gamma}dt = dt = \dfrac{1}{c}dx^0 \end{aligned}$$ 最終行の始めの等式については，→一般相対性理論における固有時の「速度による伸び縮み」の節より，式： $$d\tau = \sqrt{1 - \dfrac{\|\boldsymbol{v}\|^2}{c^2}} dt = \dfrac{1}{\gamma}dt$$を利用しました。 これにより， $$\dfrac{dx^0}{d\tau} = c, ~~ \dfrac{dx^j}{d\tau} = \dfrac{dx^j}{dt}$$ また，式 $(2)$ の第3,4項は速度 $\dfrac{dx^\sigma}{d\tau} = \dfrac{dx^j}{dt}$ を含んでおり，これは $c$ に比べ十分小さいので， 落とすことができます。よって，式 $(2)$ は $$\begin{aligned} \dfrac{d^2 x^i}{dt^2} + c^2 \Gamma^i_{00} = 0\\ \therefore \dfrac{d^2 x^i}{dt^2} = \dfrac{c^2}{2}\dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^i}} \end{aligned}$$ この式とNewtonの運動方程式 $\displaystyle\dfrac{d^2 \boldsymbol{x}}{dt^2} = -\nabla\phi$，つまり， $$\dfrac{d^2 x^i}{dt^2} = - \dfrac{\partial{\phi}}{\partial{x^i}}$$ とを比べて， $$-\dfrac{c^2}{2}\dfrac{\partial{h_{0 0}}}{\partial{x^i}} = \dfrac{\partial{\phi}}{\partial{x^i}}$$ これを積分すれば，$C$ を積分定数として， $$h_{00} = -\dfrac{2\phi}{c^2} + C$$ 遠方で $\phi \to 0, ~~ h_{00} \to 0$ より，$C = 0$。よって $$h_{00} = -\dfrac{2\phi}{c^2}$$ であり，$g_{00} = \eta_{00} + h_{00}$ より， $$g_{00} = -1 -\dfrac{2\phi}{c^2}$$ が成立します。この節の前半部分でも述べましたが，計量テンソルは重力に直接関係することがこの式からもわかります。

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