マクスウェル方程式の一般相対性理論的書き換え

更新 2021/03/28

Maxwell方程式を一般相対論的に書き換えることを試みます。

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Maxwell方程式の一般相対性理論的書き換え

特殊相対論において，Maxwell方程式は，電磁場テンソル $f_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}$ を用いて， $\begin{aligned} \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{x^\nu}} = 0\\ \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} = \mu_0 j^\mu \end{aligned}$ により表されました。これを一般座標系 $u^\mu$ に置き換えれば，一般相対性原理により， $\begin{aligned} f_{\mu\nu} = \nabla_{\mu}A_{\nu} - \nabla_{\nu}A_{\mu}\\ \nabla_\sigma f_{\mu\nu} + \nabla_\mu f_{\nu\sigma} + \nabla_\nu f_{\sigma\mu} = 0\\ \nabla_\nu f^{\mu\nu} = \mu_0 j^\mu \end{aligned}$ これで書き換えは終わっています。この後の計算は，この式の単なる同値な書き換えであることに注意してください。

より簡単な形にする

では式の同値な簡略化を始めましょう。
fμν=∇μAν−∇νAμ=(∂Aν∂uμ−ΓμνσAσ)−(∂Aμ∂uν−ΓνμσAσ)=∂Aν∂xμ−∂Aμ∂xν(1)\begin{aligned}
       f_{\mu\nu} &= \nabla_{\mu}A_{\nu} -  \nabla_{\nu}A_{\mu}\\
       &= \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{u^\mu}} - \Gamma^\sigma_{\mu\nu} A_\sigma\right) - 
       \left(\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{u^\nu}} - \Gamma^\sigma_{\nu\mu} A_\sigma\right)\\
       &= \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} \quad\quad(1)
\end{aligned}fμν​​=∇μ​Aν​−∇ν​Aμ​=(∂uμ∂Aν​​−Γμνσ​Aσ​)−(∂uν∂Aμ​​−Γνμσ​Aσ​)=∂xμ∂Aν​​−∂xν∂Aμ​​(1)​
同様に，共変微分を計算していけば，
∇σfμν+∇μfνσ+∇νfσμ=∂fμν∂xσ+∂fνσ∂xμ+∂fσμ∂xν(2)
       \nabla_\sigma f_{\mu\nu} + \nabla_\mu f_{\nu\sigma} + \nabla_\nu f_{\sigma\mu} = \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{x^\nu}}  \quad\quad(2)
∇σ​fμν​+∇μ​fνσ​+∇ν​fσμ​=∂xσ∂fμν​​+∂xμ∂fνσ​​+∂xν∂fσμ​​(2)
とできます。つまり，Maxwell方程式の前半の式は，一般相対論においても特殊相対論における方程式の形と全く同様の形をとることがわかります。
また，
∇νfμν=∂fμν∂xν+Γνσμfσν+Γνσνfμσ
       \nabla_\nu f^{\mu\nu} = \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\nu\sigma}f^{\mu\sigma}  
∇ν​fμν=∂xν∂fμν​+Γνσμ​fσν+Γνσν​fμσ
ここで，Γνσμ=Γσνμ,  fσν=−fνσ\Gamma^\mu_{\nu\sigma} = \Gamma^\mu_{\sigma\nu}, ~~ f^{\sigma\nu} = -f^{\nu\sigma}Γνσμ​=Γσνμ​,  fσν=−fνσ により，
Γνσμfσν=−Γσνμfνσ∴Γνσμfσν=0\begin{aligned}
       \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} = -\Gamma^\mu_{\sigma\nu}f^{\nu\sigma}\\
       \therefore \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} = 0
\end{aligned}Γνσμ​fσν=−Γσνμ​fνσ∴Γνσμ​fσν=0​
と，→Christoffelの記号における「第2種Christoffelの記号」の節から，式：
Γνμμ=1∣g∣∂∣g∣∂uν
\Gamma^\mu_{\nu\mu} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} 
Γνμμ​=∣g∣​1​∂uν∂∣g∣​​ により，
∇νfμν=∂fμν∂xν+1∣g∣∂∣g∣∂xσfμσ=1∣g∣(∣g∣∂fμν∂xν+∂∣g∣∂xνfμν)=1∣g∣∂∂xν(∣g∣fμν)\begin{aligned}
       \nabla_\nu f^{\mu\nu} &= \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} + \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{x^\sigma}}f^{\mu\sigma} \\
       &=  \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\left(\sqrt{|g|}\dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} +  \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{x^\nu}}f^{\mu\nu} \right)\\
       &= \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} \left(\sqrt{|g|}f^{\mu\nu}\right)
\end{aligned}∇ν​fμν​=∂xν∂fμν​+∣g∣​1​∂xσ∂∣g∣​​fμσ=∣g∣​1​(∣g∣​∂xν∂fμν​+∂xν∂∣g∣​​fμν)=∣g∣​1​∂xν∂​(∣g∣​fμν)​
よって
1∣g∣∂∂xν(∣g∣fμν)=μ0jμ(3)
       \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} \left(\sqrt{|g|}f^{\mu\nu}\right) = \mu_0 j^\mu \tag{3}
∣g∣​1​∂xν∂​(∣g∣​fμν)=μ0​jμ(3)
これで式 (1),(2),(3)(1),(2),(3)(1),(2),(3) のように，一般相対性理論におけるMaxwell方程式を簡略化することができました。
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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。