1. 高校生から味わう理論物理入門
  2. マクスウェル方程式の一般相対性理論的書き換え

マクスウェル方程式の一般相対性理論的書き換え

更新日時 2021/03/28
目次
  • Maxwell方程式の一般相対性理論的書き換え

  • より簡単な形にする

Maxwell方程式の一般相対性理論的書き換え

特殊相対論において,Maxwell方程式は,電磁場テンソル fμν=AνxμAμxν f_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} を用いて, fμνxσ+fνσxμ+fσμxν=0fμνxν=μ0jμ\begin{aligned} \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{x^\nu}} = 0\\ \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} = \mu_0 j^\mu \end{aligned} により表されました。これを一般座標系 uμu^\mu に置き換えれば,一般相対性原理により, fμν=μAννAμσfμν+μfνσ+νfσμ=0νfμν=μ0jμ\begin{aligned} f_{\mu\nu} = \nabla_{\mu}A_{\nu} - \nabla_{\nu}A_{\mu}\\ \nabla_\sigma f_{\mu\nu} + \nabla_\mu f_{\nu\sigma} + \nabla_\nu f_{\sigma\mu} = 0\\ \nabla_\nu f^{\mu\nu} = \mu_0 j^\mu \end{aligned} これで書き換えは終わっています。この後の計算は,この式の単なる同値な書き換えであることに注意してください。

より簡単な形にする

では式の同値な簡略化を始めましょう。

fμν=μAννAμ=(AνuμΓμνσAσ)(AμuνΓνμσAσ)=AνxμAμxν(1)\begin{aligned} f_{\mu\nu} &= \nabla_{\mu}A_{\nu} - \nabla_{\nu}A_{\mu}\\ &= \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{u^\mu}} - \Gamma^\sigma_{\mu\nu} A_\sigma\right) - \left(\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{u^\nu}} - \Gamma^\sigma_{\nu\mu} A_\sigma\right)\\ &= \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} \quad\quad(1) \end{aligned} 同様に,共変微分を計算していけば, σfμν+μfνσ+νfσμ=fμνxσ+fνσxμ+fσμxν(2) \nabla_\sigma f_{\mu\nu} + \nabla_\mu f_{\nu\sigma} + \nabla_\nu f_{\sigma\mu} = \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{x^\nu}} \quad\quad(2) とできます。つまり,Maxwell方程式の前半の式は,一般相対論においても特殊相対論における方程式の形と全く同様の形をとることがわかります。

また, νfμν=fμνxν+Γνσμfσν+Γνσνfμσ \nabla_\nu f^{\mu\nu} = \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\nu\sigma}f^{\mu\sigma} ここで,Γνσμ=Γσνμ,  fσν=fνσ\Gamma^\mu_{\nu\sigma} = \Gamma^\mu_{\sigma\nu}, ~~ f^{\sigma\nu} = -f^{\nu\sigma} により, Γνσμfσν=ΓσνμfνσΓνσμfσν=0\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} = -\Gamma^\mu_{\sigma\nu}f^{\nu\sigma}\\ \therefore \Gamma^\mu_{\nu\sigma}f^{\sigma\nu} = 0 \end{aligned} と,→Christoffelの記号における「第2種Christoffelの記号」の節から,式: Γνμμ=1gguν \Gamma^\mu_{\nu\mu} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} により, νfμν=fμνxν+1ggxσfμσ=1g(gfμνxν+gxνfμν)=1gxν(gfμν)\begin{aligned} \nabla_\nu f^{\mu\nu} &= \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} + \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{x^\sigma}}f^{\mu\sigma} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\left(\sqrt{|g|}\dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} + \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{x^\nu}}f^{\mu\nu} \right)\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} \left(\sqrt{|g|}f^{\mu\nu}\right) \end{aligned} よって 1gxν(gfμν)=μ0jμ(3) \dfrac{1}{\sqrt{|g|}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} \left(\sqrt{|g|}f^{\mu\nu}\right) = \mu_0 j^\mu \tag{3}

これで式 (1),(2),(3)(1),(2),(3) のように,一般相対性理論におけるMaxwell方程式を簡略化することができました。

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