共変微分

更新日時 2021/03/28
目次
  • 共変微分とは

  • より一般に共変微分とは

  • 共変微分に対して「定数」な計量テンソル

共変微分とは

x+dxx + dx におけるベクトル Aμ(x+dx)A_\mu(x + dx) を考えます。点 xx におけるベクトル Aμ(x)A_{\mu}(x) を,x+dxx+dx まで平行移動させたベクトルを Kμ(x+dx)K_\mu(x+dx) とすれば, Kμ(x+dx)=Aμ(x)+dAμ=Aμ(x)+AαΓμσαdxσ K_\mu(x+dx) = A_{\mu}(x) + dA_\mu = A_{\mu}(x) + A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma} dx^\sigma ここで,一般に全微分について Aμ(x+dx)Aμ(x)=Aμxνdxν A_{\mu}(x+dx) - A_\mu(x) = \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu が成立することを考えれば, Aμ(x+dx)Kμ(x+dx)=Aμ(x+dx)(Aμ(x)+AαΓμναdxν)=AμxνdxνAαΓμναdxν=(AμxνAαΓμνα)dxν\begin{aligned} A_\mu(x+dx) - K_\mu(x+dx) &= A_\mu(x+dx) - (A_{\mu}(x) + A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} dx^\nu)\\ &= \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} dx^\nu\\ &= \left(\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right)dx^\nu \end{aligned} 「商の定理」により,AμxνAαΓμνα\displaystyle\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} はテンソルです。これを, νAν:=AμxνAαΓμνα \nabla_\nu A_\nu := \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} と定義して,νAν\nabla_\nu A_\nuAμA_\mu共変微分と呼びます。

曲がっていない空間において,計量テンソルは定数であるから,その微分は0になります。つまり,Γμνα=0\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = 0 が成立します。よって, Kμ(x+dx)=Aμ(x) K_\mu(x+dx) = A_{\mu}(x) であるから, νAνdxν=Aμ(x+dx)Aμ(x)=Aμxνdxν \nabla_\nu A_\nu dx^\nu = A_{\mu}(x+dx) - A_\mu(x) = \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu が成立します。つまり,曲がっていない空間においては,共変微分は通常の微分と一致するということです。

より一般に共変微分とは

反変ベクトル AμA^\mu の共変微分を考えます。共変ベクトル BμB_\mu を持ってきて,縮合を考えれば, AμBμ=AμBμxσ(AμBμ)=xσxσxσ(AμBμ)\begin{aligned} A^\mu B_\mu &= A^{\mu'}B_{\mu'}\\ \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} \left(A^{\mu}B_{\mu}\right) &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\sigma'}}} \left(A^{\mu'}B_{\mu'}\right) \end{aligned} ここで, LHS=AμxσBμ+AμBμxσ=(Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+Aμ(BμxσBαΓμσα)=(Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+AμσBμ\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}} B_\mu + A^\mu \dfrac{\partial{B_\mu}}{\partial{x^\sigma}}\\ &= \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+ A^\mu\left(\dfrac{\partial{B_\mu}}{\partial{x^\sigma}} - B_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}\right)\\ &= \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+A^\mu \nabla_\sigma B_\mu \end{aligned} また, RHS=xσxσ{(Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+Aμ(BμxσBαΓμσα)}=xσxσ{(Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+AμσBμ}=xσxσ(Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+xσxσAμxμxμxβxσβBμ=xσxσ(Aμxσ+ΓσαμAα)xμxμBμ+AμσBμ\begin{aligned} \mathrm{RHS} &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}} \left\{\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right) B_{\mu'} +A^{\mu'}\left(\dfrac{\partial{B_{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - B_{\alpha'} \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}} \left\{\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right) B_{\mu'} +A^{\mu'}\nabla_{\sigma'} B_{\mu'}\right\}\\ &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)B_{\mu'} + \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}A^{\mu'}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\sigma'}}\nabla_{\beta} B_{\mu}\\ &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu} + A^{\mu}\nabla_{\sigma} B_{\mu} \end{aligned} よって, (Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ+AμσBμ=xσxσ(Aμxσ+ΓσαμAα)xμxμBμ+AμσBμ\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+A^\mu \nabla_\sigma B_\mu\\ &\quad = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu} + A^{\mu}\nabla_{\sigma} B_{\mu} \end{aligned} (Aμxσ+ΓσαμAα)Bμ=xσxσ(Aμxσ+ΓσαμAα)xμxμBμ \therefore \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu} BμB_\mu は任意にとれるので (Aμxσ+ΓσαμAα)=xσxσxμxμ(Aμxσ+ΓσαμAα)\begin{aligned} \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right) = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right) \end{aligned} したがって, σAμ:=Aμxσ+ΓσαμAα \nabla_\sigma A^\mu := \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha と定義して,σAμ\nabla_\sigma A^\muAμA^\mu共変微分とよぶことにすれば,これはテンソルです。

さらに,(0,2)テンソル GμνG_{\mu\nu} の共変微分を考えます。これと,Aμ,BμA^\mu, B^\mu との縮合を考えれば, GμνAμBν=GμνAμBν G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'} ここで,両辺を xσx^\sigma で微分することを考えます。 LHS=xσ(GμνAμBν)=GμνxσAμBν+GμνAμxσBν+GμνAμBνxσ=(GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν+Gμν(Aμxσ+ΓσαμAα)Bν+GμνAμ(Bνxσ+ΓσανBα)=(GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν+GμνσAμBν+GμνAμσBν\begin{aligned} \mathrm{LHS} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}\right)\\ &= \dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}A^{\mu}B^{\nu}+ G_{\mu\nu}\dfrac{\partial{A^{\mu}}}{\partial{x^\sigma}}B^{\nu}+ G_{\mu\nu}A^{\mu}\dfrac{\partial{B^{\nu}}}{\partial{x^\sigma}}\\ &= \left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu}\\ &\quad\quad+ G_{\mu\nu}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha} A^\alpha\right)B^{\nu} + G_{\mu\nu}A^{\mu}\left(\dfrac{\partial{B^{\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\nu}_{\sigma\alpha} B^\alpha\right)\\ &= \left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu}\\ &\quad\quad + G_{\mu\nu}\nabla_\sigma A^\mu B^{\nu} + G_{\mu\nu}A^{\mu} \nabla_\sigma B^\nu \end{aligned} また, RHS=xσ(GμνAμBν)=xσxσxσ(GμνAμBν)=xσxσ{(GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν+Gμν(Aμxσ+ΓσαμAα)Bν+GμνAμ(Bνxσ+ΓσανBα)}=xσxσ(GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν+GμνσAμBν+GμνAμσBν\begin{aligned} \mathrm{RHS} &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'}\right)\\ &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\sigma'}}}\left(G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'}\right)\\ &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left\{\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'}\right.\\ &\quad \quad + G_{\mu'\nu'}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'} A^{\alpha'}\right)B^{\nu'}\\ &\quad\quad\quad \quad \left.+ G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}\left(\dfrac{\partial{B^{\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\nu'}_{\sigma'\alpha'} B^{\alpha'}\right)\right\}\\ &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'}\\ &\quad\quad + G_{\mu\nu} \nabla_\sigma A^\mu B^\nu + G_{\mu\nu}A^{\mu} \nabla_\sigma B^\nu \end{aligned} よって, (GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν=xσxσ(GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα)AμBν\begin{aligned} &\left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu} \\ &\quad\quad= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'} \end{aligned} したがって, σGμν:=GμνxσΓμσαGανΓνσαGμα \nabla_\sigma G_{\mu\nu} := \dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha} と定義すれば, σGμνAμBν=xσxσσGμνAμBν=xσxσxμxμxνxνσGμνAμBν \nabla_\sigma G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'} = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'}A^{\mu}B^{\nu} Aμ, BνA^{\mu}, ~ B^{\nu} は任意にとれるので σGμν=xσxσxμxμxνxνσGμν \nabla_\sigma G_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'} これより,σGμν\nabla_\sigma G_{\mu\nu} はテンソルです。

他のテンソルの共変微分についても同様にすれば得ることができます。

ちなみに,積の共変微分に関する公式 σ(XY)=(σX)Y+X(σY) \nabla_\sigma (XY) = (\nabla_\sigma X) Y + X(\nabla_\sigma Y) が成立することが知られています。公式の証明は省略します。

共変微分に対して「定数」な計量テンソル

計量テンソルの共変微分に関して, σgμν=gμνxσΓμσαgανΓνσαgμα=gμνxσΓνμσΓμνσ=0 \nabla_\sigma g_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}g_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}g_{\mu\alpha} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma_{\nu\mu\sigma} - \Gamma_{\mu\nu\sigma} = 0 となります。つまり,計量テンソルは共変微分に対して「定数関数」のようにふるまいます。

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