共変微分

更新 2021/03/28

「共変微分」について解説します。

共変微分とは

点 $x + dx$ におけるベクトル $A_\mu(x + dx)$ を考えます。点 $x$ におけるベクトル $A_{\mu}(x)$ を， $x+dx$ まで平行移動させたベクトルを $K_\mu(x+dx)$ とすれば， $K_\mu(x+dx) = A_{\mu}(x) + dA_\mu = A_{\mu}(x) + A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma} dx^\sigma$ ここで，一般に全微分について $A_{\mu}(x+dx) - A_\mu(x) = \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu$ が成立することを考えれば， $\begin{aligned} A_\mu(x+dx) - K_\mu(x+dx) &= A_\mu(x+dx) - (A_{\mu}(x) + A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} dx^\nu)\\ &= \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} dx^\nu\\ &= \left(\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}\right)dx^\nu \end{aligned}$ 「商の定理」により， $\displaystyle\dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ はテンソルです。これを， $\nabla_\nu A_\nu := \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} - A_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}$ と定義して， $\nabla_\nu A_\nu$ を $A_\mu$ の共変微分と呼びます。

曲がっていない空間において，計量テンソルは定数であるから，その微分は0になります。つまり， $\Gamma^{\alpha}_{\mu\nu} = 0$ が成立します。よって， $K_\mu(x+dx) = A_{\mu}(x)$ であるから， $\nabla_\nu A_\nu dx^\nu = A_{\mu}(x+dx) - A_\mu(x) = \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}dx^\nu$ が成立します。つまり，曲がっていない空間においては，共変微分は通常の微分と一致するということです。

エッセンス熱力学の問題です 2枚目の解き方がダメな理由が分かりません、誰か教えて頂けませんか……？正しい答えは58/9 2

消費される電力の合計がいくらかという問題です。電球に使われるフィラメントのように，電流によって温度が大きく変化する導 3

エッセンスから熱力学の問題です。この問題の解き方が2枚目じゃダメな理由教えてくださるとものすごく助かります…… 正しい 4

ケトンやアルデヒドには水素が付加(というか還元される)しますが、カルボン酸には水素は付加しないのですか？理由も教えてくだ 5

より一般に共変微分とは

反変ベクトル AμA^\muAμ の共変微分を考えます。共変ベクトル BμB_\muBμ​ を持ってきて，縮合を考えれば，
AμBμ=Aμ′Bμ′∂∂xσ(AμBμ)=∂xσ′∂xσ∂∂xσ′(Aμ′Bμ′)\begin{aligned}
       A^\mu B_\mu &= A^{\mu'}B_{\mu'}\\
       \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}} \left(A^{\mu}B_{\mu}\right) &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\sigma'}}} \left(A^{\mu'}B_{\mu'}\right)
\end{aligned}AμBμ​∂xσ∂​(AμBμ​)​=Aμ′Bμ′​=∂xσ∂xσ′​∂xσ′∂​(Aμ′Bμ′​)​
ここで，
LHS=∂Aμ∂xσBμ+Aμ∂Bμ∂xσ=(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)Bμ+Aμ(∂Bμ∂xσ−BαΓμσα)=(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)Bμ+Aμ∇σBμ\begin{aligned}
       \mathrm{LHS} &= \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}} B_\mu + A^\mu \dfrac{\partial{B_\mu}}{\partial{x^\sigma}}\\
       &= \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+
       A^\mu\left(\dfrac{\partial{B_\mu}}{\partial{x^\sigma}} - B_\alpha \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}\right)\\
       &= \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+A^\mu \nabla_\sigma B_\mu
\end{aligned}LHS​=∂xσ∂Aμ​Bμ​+Aμ∂xσ∂Bμ​​=(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)Bμ​+Aμ(∂xσ∂Bμ​​−Bα​Γμσα​)=(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)Bμ​+Aμ∇σ​Bμ​​
また，
RHS=∂xσ′∂xσ{(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)Bμ′+Aμ′(∂Bμ′∂xσ′−Bα′Γμ′σ′α′)}=∂xσ′∂xσ{(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)Bμ′+Aμ′∇σ′Bμ′}=∂xσ′∂xσ(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)Bμ′+∂xσ′∂xσAμ′∂xμ∂xμ′∂xβ∂xσ′∇βBμ=∂xσ′∂xσ(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)∂xμ∂xμ′Bμ+Aμ∇σBμ\begin{aligned}
       \mathrm{RHS} &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}} \left\{\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right) B_{\mu'} +A^{\mu'}\left(\dfrac{\partial{B_{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - B_{\alpha'} \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}\right)\right\}\\
       &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}} \left\{\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right) B_{\mu'} +A^{\mu'}\nabla_{\sigma'} B_{\mu'}\right\}\\
       &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + 
       \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)B_{\mu'}
       + \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}A^{\mu'}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}} \dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\sigma'}}\nabla_{\beta} B_{\mu}\\
       &= \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + 
       \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu}
       + A^{\mu}\nabla_{\sigma} B_{\mu}
\end{aligned}RHS​=∂xσ∂xσ′​{(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)Bμ′​+Aμ′(∂xσ′∂Bμ′​​−Bα′​Γμ′σ′α′​)}=∂xσ∂xσ′​{(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)Bμ′​+Aμ′∇σ′​Bμ′​}=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)Bμ′​+∂xσ∂xσ′​Aμ′∂xμ′∂xμ​∂xσ′∂xβ​∇β​Bμ​=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)∂xμ′∂xμ​Bμ​+Aμ∇σ​Bμ​​
よって，
(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)Bμ+Aμ∇σBμ=∂xσ′∂xσ(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)∂xμ∂xμ′Bμ+Aμ∇σBμ\begin{aligned}
       &\left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu+A^\mu \nabla_\sigma B_\mu\\
       &\quad = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + 
       \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu}
       + A^{\mu}\nabla_{\sigma} B_{\mu}
\end{aligned}​(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)Bμ​+Aμ∇σ​Bμ​=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)∂xμ′∂xμ​Bμ​+Aμ∇σ​Bμ​​
∴(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)Bμ=∂xσ′∂xσ(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)∂xμ∂xμ′Bμ
       \therefore \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)B_\mu
       = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + 
       \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}B_{\mu}
∴(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)Bμ​=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)∂xμ′∂xμ​Bμ​
BμB_\muBμ​ は任意にとれるので
(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)=∂xσ′∂xσ∂xμ∂xμ′(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)\begin{aligned}
       \left(\dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha\right)
       = \dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + 
       \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'}A^{\alpha'}\right)
\end{aligned}(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)=∂xσ∂xσ′​∂xμ′∂xμ​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)​
したがって，
∇σAμ:=∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα
       \nabla_\sigma A^\mu := \dfrac{\partial{A^\mu}}{\partial{x^\sigma}}+\Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha}A^\alpha
∇σ​Aμ:=∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα
と定義して，∇σAμ\nabla_\sigma A^\mu∇σ​Aμ を AμA^\muAμ の共変微分とよぶことにすれば，これはテンソルです。
さらに，(0,2)テンソル GμνG_{\mu\nu}Gμν​ の共変微分を考えます。これと，Aμ,BμA^\mu, B^\muAμ,Bμ との縮合を考えれば，
GμνAμBν=Gμ′ν′Aμ′Bν′
       G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'} 
Gμν​AμBν=Gμ′ν′​Aμ′Bν′
ここで，両辺を xσx^\sigmaxσ で微分することを考えます。
LHS=∂∂xσ(GμνAμBν)=∂Gμν∂xσAμBν+Gμν∂Aμ∂xσBν+GμνAμ∂Bν∂xσ=(∂Gμν∂xσ−ΓμσαGαν−ΓνσαGμα)AμBν+Gμν(∂Aμ∂xσ+ΓσαμAα)Bν+GμνAμ(∂Bν∂xσ+ΓσανBα)=(∂Gμν∂xσ−ΓμσαGαν−ΓνσαGμα)AμBν+Gμν∇σAμBν+GμνAμ∇σBν\begin{aligned}
       \mathrm{LHS}
       &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}\right)\\
       &= \dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}A^{\mu}B^{\nu}+
       G_{\mu\nu}\dfrac{\partial{A^{\mu}}}{\partial{x^\sigma}}B^{\nu}+
       G_{\mu\nu}A^{\mu}\dfrac{\partial{B^{\nu}}}{\partial{x^\sigma}}\\
       &= \left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu}\\
       &\quad\quad+ G_{\mu\nu}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\mu}_{\sigma\alpha} A^\alpha\right)B^{\nu}
       + G_{\mu\nu}A^{\mu}\left(\dfrac{\partial{B^{\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\nu}_{\sigma\alpha} B^\alpha\right)\\
       &= \left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu}\\
       &\quad\quad + G_{\mu\nu}\nabla_\sigma A^\mu B^{\nu}
       + G_{\mu\nu}A^{\mu} \nabla_\sigma B^\nu
\end{aligned}LHS​=∂xσ∂​(Gμν​AμBν)=∂xσ∂Gμν​​AμBν+Gμν​∂xσ∂Aμ​Bν+Gμν​Aμ∂xσ∂Bν​=(∂xσ∂Gμν​​−Γμσα​Gαν​−Γνσα​Gμα​)AμBν+Gμν​(∂xσ∂Aμ​+Γσαμ​Aα)Bν+Gμν​Aμ(∂xσ∂Bν​+Γσαν​Bα)=(∂xσ∂Gμν​​−Γμσα​Gαν​−Γνσα​Gμα​)AμBν+Gμν​∇σ​AμBν+Gμν​Aμ∇σ​Bν​
また，
RHS=∂∂xσ(Gμ′ν′Aμ′Bν′)=∂xσ′∂xσ∂∂xσ′(Gμ′ν′Aμ′Bν′)=∂xσ′∂xσ{(∂Gμ′ν′∂xσ′−Γμ′σ′α′Gα′ν′−Γν′σ′α′Gμ′α′)Aμ′Bν′+Gμ′ν′(∂Aμ′∂xσ′+Γσ′α′μ′Aα′)Bν′+Gμ′ν′Aμ′(∂Bν′∂xσ′+Γσ′α′ν′Bα′)}=∂xσ′∂xσ(∂Gμ′ν′∂xσ′−Γμ′σ′α′Gα′ν′−Γν′σ′α′Gμ′α′)Aμ′Bν′+Gμν∇σAμBν+GμνAμ∇σBν\begin{aligned}
       \mathrm{RHS}
       &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'}\right)\\
       &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^{\sigma'}}}\left(G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'}\right)\\
       &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left\{\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'}\right.\\
       &\quad \quad + G_{\mu'\nu'}\left(\dfrac{\partial{A^{\mu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\mu'}_{\sigma'\alpha'} A^{\alpha'}\right)B^{\nu'}\\
       &\quad\quad\quad \quad \left.+ G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}\left(\dfrac{\partial{B^{\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} + \Gamma^{\nu'}_{\sigma'\alpha'} B^{\alpha'}\right)\right\}\\
       &= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'}\\
       &\quad\quad + G_{\mu\nu} \nabla_\sigma A^\mu B^\nu + G_{\mu\nu}A^{\mu} \nabla_\sigma B^\nu 
\end{aligned}RHS​=∂xσ∂​(Gμ′ν′​Aμ′Bν′)=∂xσ∂xσ′​∂xσ′∂​(Gμ′ν′​Aμ′Bν′)=∂xσ∂xσ′​{(∂xσ′∂Gμ′ν′​​−Γμ′σ′α′​Gα′ν′​−Γν′σ′α′​Gμ′α′​)Aμ′Bν′+Gμ′ν′​(∂xσ′∂Aμ′​+Γσ′α′μ′​Aα′)Bν′+Gμ′ν′​Aμ′(∂xσ′∂Bν′​+Γσ′α′ν′​Bα′)}=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Gμ′ν′​​−Γμ′σ′α′​Gα′ν′​−Γν′σ′α′​Gμ′α′​)Aμ′Bν′+Gμν​∇σ​AμBν+Gμν​Aμ∇σ​Bν​
よって，
(∂Gμν∂xσ−ΓμσαGαν−ΓνσαGμα)AμBν=∂xσ′∂xσ(∂Gμ′ν′∂xσ′−Γμ′σ′α′Gα′ν′−Γν′σ′α′Gμ′α′)Aμ′Bν′\begin{aligned}
       &\left(\dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}\right)A^{\mu}B^{\nu} \\
       &\quad\quad= \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{G_{\mu'\nu'}}}{\partial{x^{\sigma'}}} - \Gamma^{\alpha'}_{\mu'\sigma'}G_{\alpha'\nu'} - \Gamma^{\alpha'}_{\nu'\sigma'}G_{\mu'\alpha'}\right)A^{\mu'}B^{\nu'}
\end{aligned}​(∂xσ∂Gμν​​−Γμσα​Gαν​−Γνσα​Gμα​)AμBν=∂xσ∂xσ′​(∂xσ′∂Gμ′ν′​​−Γμ′σ′α′​Gα′ν′​−Γν′σ′α′​Gμ′α′​)Aμ′Bν′​
したがって，
∇σGμν:=∂Gμν∂xσ−ΓμσαGαν−ΓνσαGμα
       \nabla_\sigma G_{\mu\nu} := \dfrac{\partial{G_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}G_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}G_{\mu\alpha}
∇σ​Gμν​:=∂xσ∂Gμν​​−Γμσα​Gαν​−Γνσα​Gμα​
と定義すれば，
∇σGμνAμBν=∂xσ′∂xσ∇σ′Gμ′ν′Aμ′Bν′=∂xσ′∂xσ∂xμ′∂xμ∂xν′∂xν∇σ′Gμ′ν′AμBν
              \nabla_\sigma G_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu}
              = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'}
              = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'}A^{\mu}B^{\nu}
∇σ​Gμν​AμBν=∂xσ∂xσ′​∇σ′​Gμ′ν′​Aμ′Bν′=∂xσ∂xσ′​∂xμ∂xμ′​∂xν∂xν′​∇σ′​Gμ′ν′​AμBν
Aμ, BνA^{\mu}, ~ B^{\nu}Aμ, Bν は任意にとれるので
∇σGμν=∂xσ′∂xσ∂xμ′∂xμ∂xν′∂xν∇σ′Gμ′ν′
       \nabla_\sigma G_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{x^{\sigma'}}}{\partial{x^\sigma}}\dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}\nabla_{\sigma'} G_{\mu'\nu'}
∇σ​Gμν​=∂xσ∂xσ′​∂xμ∂xμ′​∂xν∂xν′​∇σ′​Gμ′ν′​
これより，∇σGμν\nabla_\sigma G_{\mu\nu}∇σ​Gμν​ はテンソルです。
他のテンソルの共変微分についても同様にすれば得ることができます。
ちなみに，積の共変微分に関する公式
∇σ(XY)=(∇σX)Y+X(∇σY)
       \nabla_\sigma (XY) = (\nabla_\sigma X) Y + X(\nabla_\sigma Y) 
∇σ​(XY)=(∇σ​X)Y+X(∇σ​Y)
が成立することが知られています。公式の証明は省略します。

共変微分に対して「定数」な計量テンソル

計量テンソルの共変微分に関して， $\nabla_\sigma g_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma^{\alpha}_{\mu\sigma}g_{\alpha\nu} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}g_{\mu\alpha} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} - \Gamma_{\nu\mu\sigma} - \Gamma_{\mu\nu\sigma} = 0$ となります。つまり，計量テンソルは共変微分に対して「定数関数」のようにふるまいます。

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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。