平行移動

曲がった空間での平行移動はどのように考えたら良いかを以下に示します。まず曲がった空間を包含する， より高次元（ここでは$N$次元空間とします）の曲がっていない空間における座標$y^n$を考えましょう。ここで，曲がっていない空間とは計量テンソルが定数のみで構成されるような空間をさします。 $N$次元空間における不変距離$ds^2$に対し，定数のみで構成される計量テンソル $h_{nm}$ を用いて（これは $g_{\mu\nu}$ とは異なります） $$ds^2 = h_{nm} dy^n dy^m$$ と表すことができます。曲がった空間（これから簡単のため曲面と呼ぶことにします）内の$x^{\mu}$は，$N$次元空間内の点でもあるので，$y^n(x)$と書くことにします。曲面上の微小変位$\delta y^n$は， $$\delta y^n = \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\delta x^\mu \tag{1}$$ とかけるから， $$\begin{aligned} \delta s^2 &= h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}}\delta x^\mu\delta x^\nu \end{aligned}$$ です。 さて，曲面における微小距離は， $$ds^2 = g_{\mu \nu}\delta x^\mu\delta x^\nu$$ これら2式を比較すれば， $$g_{\mu\nu} = h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}}$$ とかけます。

$$\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}} = h_{nm}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}}$$ と書けば， $$\delta s^2 = \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}\delta x^\mu\delta x^\nu$$ と書くこともできます。

さて，微小な反変ベクトルに対しては，式 $(1)$ により， $$A^n = \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}A^\mu$$ が成立します。ここからベクトルの平行移動を考えます。$x+dx$にある$A^\mu$を $$A^n = A^{n}_{接} + A^{n}_{法} = \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}(x+dx)K^\mu + A^{n}_{法}$$ と書くことができます。ここで$K^\mu$は$x+dx$にあるベクトルです。さて，$A^{n}_{接}$と$A^{n}_{法}$は垂直であるはずなので， $$\begin{aligned} h_{nm}A^n_{法}A^n_{接} &= h_{nm}A^n_{法}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}(x+dx)K^\mu \\ &= 0 \tag{2} \end{aligned}$$ $x+dx$は任意に取れるはずなので，$K^\mu$を落として，式 $(2)$ は $$A^n_{法}\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\mu}}(x+dx) = 0$$ と同値になります。これより， $$\begin{aligned} A^n \dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x+dx) &= \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}(x+dx)K^\mu\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x+dx) \\ &= K^\mu g_{\mu\nu}(x+dx) = K_\mu(x+dx) \end{aligned}$$ ここで， $$\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x+dx) = \dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x) + \dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma + \text{($dx^\sigma$の二次以上の項)}$$ より， $$\begin{aligned} K_\nu(x+dx) &\approx A^n (\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x) + \dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma) \\ &= A^\mu \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} (\dfrac{\partial{y_n}}{\partial{x^\nu}}(x) + \dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma) \\ &= g_{\mu\nu}A^\mu + A^\mu \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma \end{aligned}$$

ここで， $$dA_\nu := A^\mu \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma$$ とすると， $$K_\nu(x+dx) = A_\nu + dA_\nu$$ と書くことができます。

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