クリストッフェルの記号

更新 2021/03/28

相対性理論における便利な記号「Christoffelの記号」について解説します。

計量テンソルの微分

平行移動の節における議論により， $g_{\mu\nu} = h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}}$ これを $x^\alpha$ で微分すると， $\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} = h_{nm}\dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}$ ここで， $\dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = \dfrac{\partial^2 (h^{ln}y_l)}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha}$ 同様に， $\dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} = h^{lm} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}$ よって， $\begin{aligned} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} &= h_{nm}h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}h^{lm} \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} \\ &= \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} +\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}} \quad\quad(1) \end{aligned}$

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第1種Christoffelの記号

新たな記号を導入します。 $\Gamma_{\mu\nu\sigma} := \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\mu\sigma}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}}\right)$ でもって第1種Christoffelの記号を定義します。式 $(1)$ を使って，この定義式を変形していくと，以下のようなきれいな形を得られます（単純な計算なので省略しますが，なかなか大変な計算問題になるので是非やってみてください）。 $\Gamma_{\mu\nu\sigma} = \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\sigma}$ この式は，Christoffel記号が4次元空間において計算されるものであるにも関わらず，より高次元な空間の情報を持っていることを示唆しています。なぜなら，Christoffel記号は4次元空間の計量テンソルで計算できるにも関わらず，より高次元な $y^m$ の微分に関わる情報と等式で結ばれているからです。

さらに，この式より， $\Gamma_{\mu\nu\sigma} = \Gamma_{\mu\sigma\nu}$ が成立します。また，定義より， $\Gamma_{\mu\nu\sigma} + \Gamma_{\nu\mu\sigma} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}$ が成立することが計算により確かめられます。

第2種Christoffelの記号

Γνσμ:=gμλΓλνσ
       \Gamma^\mu_{\nu\sigma} := g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma}
Γνσμ​:=gμλΓλνσ​
でもって第2種Christoffelの記号を定義します。定義式から，
Γνσμ=gμλΓλνσ=gμλΓλσν=Γσνμ
       \Gamma^\mu_{\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\sigma\nu} = \Gamma^\mu_{\sigma\nu} 
Γνσμ​=gμλΓλνσ​=gμλΓλσν​=Γσνμ​
が成立します。
第2種Christoffel記号について別の表現方法を導出します。計量テンソルを行列とみたて，その行列式の微分を考えます：
∂∣g∣∂uμ=∣∂g00∂uμg01g02g03∂g10∂uμg11g12g13∂g20∂uμg21g22g23∂g30∂uμg31g32g33∣+∣g00∂g01∂uμg02g03g10∂g11∂uμg12g13g20∂g21∂uμg22g23g30∂g31∂uμg32g33∣+∣g00g01∂g02∂uμg03g10g11∂g12∂uμg13g20g21∂g22∂uμg23g30g31∂g32∂uμg33∣+∣g00g01g02∂g03∂uμg10g11g12∂g13∂uμg20g21g22∂g23∂uμg30g31g32∂g33∂uμ∣(2)\begin{aligned}
       \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \left|\begin{array}{cccc}
              \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}} & g_{01} & g_{02} & g_{03}\\
              \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}} & g_{11} & g_{12} & g_{13}\\
              \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}} & g_{21} & g_{22} & g_{23}\\
              \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}} & g_{31} & g_{32} & g_{33}
       \end{array}\right| + 
       \left|\begin{array}{cccc}
              g_{00} & \dfrac{\partial{g_{01}}}{\partial{u^\mu}} & g_{02} & g_{03}\\
              g_{10} & \dfrac{\partial{g_{11}}}{\partial{u^\mu}} & g_{12} & g_{13}\\
              g_{20} & \dfrac{\partial{g_{21}}}{\partial{u^\mu}} & g_{22} & g_{23}\\
              g_{30} & \dfrac{\partial{g_{31}}}{\partial{u^\mu}} & g_{32} & g_{33}
       \end{array}\right|  \\ & \quad\quad\quad\quad + 
       \left|\begin{array}{cccc}
              g_{00}  & g_{01} & \dfrac{\partial{g_{02}}}{\partial{u^\mu}}& g_{03}\\
              g_{10}  & g_{11} & \dfrac{\partial{g_{12}}}{\partial{u^\mu}} & g_{13}\\
              g_{20}  & g_{21} & \dfrac{\partial{g_{22}}}{\partial{u^\mu}} & g_{23}\\
              g_{30}  & g_{31} & \dfrac{\partial{g_{32}}}{\partial{u^\mu}} & g_{33}
       \end{array}\right| + 
       \left|\begin{array}{cccc}
              g_{00}  & g_{01} & g_{02} & \dfrac{\partial{g_{03}}}{\partial{u^\mu}}\\
              g_{10}  & g_{11} & g_{12} &  \dfrac{\partial{g_{13}}}{\partial{u^\mu}}\\
              g_{20}  & g_{21} & g_{22} &  \dfrac{\partial{g_{23}}}{\partial{u^\mu}}\\
              g_{30}  & g_{31} & g_{32} &  \dfrac{\partial{g_{33}}}{\partial{u^\mu}}
       \end{array}\right| \quad\quad(2)
\end{aligned}∂uμ∂∣g∣​​=∣∣​∂uμ∂g00​​∂uμ∂g10​​∂uμ∂g20​​∂uμ∂g30​​​g01​g11​g21​g31​​g02​g12​g22​g32​​g03​g13​g23​g33​​∣∣​+∣∣​g00​g10​g20​g30​​∂uμ∂g01​​∂uμ∂g11​​∂uμ∂g21​​∂uμ∂g31​​​g02​g12​g22​g32​​g03​g13​g23​g33​​∣∣​+∣∣​g00​g10​g20​g30​​g01​g11​g21​g31​​∂uμ∂g02​​∂uμ∂g12​​∂uμ∂g22​​∂uμ∂g32​​​g03​g13​g23​g33​​∣∣​+∣∣​g00​g10​g20​g30​​g01​g11​g21​g31​​g02​g12​g22​g32​​∂uμ∂g03​​∂uμ∂g13​​∂uμ∂g23​​∂uμ∂g33​​​∣∣​(2)​
ここで，→記号の上げ下げの「反変計量テンソル」のところでやった議論と同様に考えれば，計量テンソルには逆行列が存在するので，∣g∣≠0|g| \neq 0∣g∣=0。
よって，gμνg_{\mu\nu}gμν​ の余因子行列を GμνG^{\mu\nu}Gμν とすると，
(Gμν)=∣g∣(gμν)
       (G^{\mu\nu}) = |g|(g^{\mu\nu})
(Gμν)=∣g∣(gμν)
です。
式 (2)(2)(2) の右辺第1項を余因子展開すると，
∂g00∂uμG00+∂g10∂uμG01+∂g20∂uμG02+∂g30∂uμG03=∂gν0∂uμG0ν
       \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}}G^{00} + \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}}G^{01} + \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}}G^{02} + \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}}G^{03} = \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu}
∂uμ∂g00​​G00+∂uμ∂g10​​G01+∂uμ∂g20​​G02+∂uμ∂g30​​G03=∂uμ∂gν0​​G0ν
同様にすれば，
∂∣g∣∂uμ=∂gν0∂uμG0ν+∂gν1∂uμG1ν+∂gν2∂uμG2ν+∂gν3∂uμG3ν=∂gνσ∂uμGσν=∣g∣∂gνσ∂uμgσν\begin{aligned}
       \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 1}}}{\partial{u^\mu}} G^{1\nu}
       + \dfrac{\partial{g_{\nu 2}}}{\partial{u^\mu}} G^{2\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 3}}}{\partial{u^\mu}} G^{3\nu} \\
       &= \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} G^{\sigma\nu} \\ &= |g| \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu}
\end{aligned}∂uμ∂∣g∣​​=∂uμ∂gν0​​G0ν+∂uμ∂gν1​​G1ν+∂uμ∂gν2​​G2ν+∂uμ∂gν3​​G3ν=∂uμ∂gνσ​​Gσν=∣g∣∂uμ∂gνσ​​gσν​
∴∂gνσ∂uμgσν=1∣g∣∂∣g∣∂uμ
       \therefore \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu} = \dfrac{1}{|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}}
∴∂uμ∂gνσ​​gσν=∣g∣1​∂uμ∂∣g∣​
ここで，
Γνμμ=12gλσ(∂gνλ∂uσ+∂gλσ∂uν−∂gσν∂uλ)=12gλσ∂gλσ∂uν=12∣g∣∂∣g∣∂uμ\begin{aligned}
       \Gamma^\mu_{\nu\mu} &= \dfrac{1}{2}g^{\lambda\sigma}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu\lambda}}}{\partial{u^\sigma}} 
       + \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\sigma\nu}}}{\partial{u^\lambda}}\right)\\
       &= \dfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}}\\
       &= \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}}
\end{aligned}Γνμμ​​=21​gλσ(∂uσ∂gνλ​​+∂uν∂gλσ​​−∂uλ∂gσν​​)=21​gλσ∂uν∂gλσ​​=2∣g∣1​∂uμ∂∣g∣​​
ところで，
1∣g∣∂∣g∣∂uν=1∣g∣12∣g∣∂∣g∣∂uν=12∣g∣∂∣g∣∂uμ
       \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{1}{2\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}}
∣g∣​1​∂uν∂∣g∣​​=∣g∣​1​2∣g∣​1​∂uν∂∣g∣​=2∣g∣1​∂uμ∂∣g∣​
より，
Γνμμ=1∣g∣∂∣g∣∂uν
       \Gamma^\mu_{\nu\mu} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} 
Γνμμ​=∣g∣​1​∂uν∂∣g∣​​
とかけます。
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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。