クリストッフェルの記号

平行移動の節における議論により， $$g_{\mu\nu} = h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}}$$ これを $x^\alpha$ で微分すると， $$\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} = h_{nm}\dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}$$ ここで， $$\dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = \dfrac{\partial^2 (h^{ln}y_l)}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha}$$ 同様に， $$\dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} = h^{lm} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}$$ よって， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} &= h_{nm}h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}h^{lm} \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} \\ &= \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} +\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}} \quad\quad(1) \end{aligned}$$

新たな記号を導入します。 $$\Gamma_{\mu\nu\sigma} := \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\mu\sigma}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}}\right)$$ でもって第1種Christoffelの記号を定義します。 式 $(1)$ を使って，この定義式を変形していくと，以下のようなきれいな形を得られます（単純な計算なので省略しますが，なかなか大変な計算問題になるので是非やってみてください）。 $$\Gamma_{\mu\nu\sigma} = \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\sigma}$$ この式は，Christoffel記号が4次元空間において計算されるものであるにも関わらず，より高次元な空間の情報を持っていることを示唆しています。 なぜなら，Christoffel記号は4次元空間の計量テンソルで計算できるにも関わらず，より高次元な $y^m$ の微分に関わる情報と 等式で結ばれているからです。

さらに，この式より， $$\Gamma_{\mu\nu\sigma} = \Gamma_{\mu\sigma\nu}$$ が成立します。また，定義より， $$\Gamma_{\mu\nu\sigma} + \Gamma_{\nu\mu\sigma} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}$$ が成立することが計算により確かめられます。

$$\Gamma^\mu_{\nu\sigma} := g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma}$$ でもって第2種Christoffelの記号を定義します。定義式から， $$\Gamma^\mu_{\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\sigma\nu} = \Gamma^\mu_{\sigma\nu}$$ が成立します。

第2種Christoffel記号について別の表現方法を導出します。計量テンソルを行列とみたて，その行列式の微分を考えます： $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \left|\begin{array}{cccc} \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}} & g_{01} & g_{02} & g_{03}\\ \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}} & g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}} & g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & \dfrac{\partial{g_{01}}}{\partial{u^\mu}} & g_{02} & g_{03}\\ g_{10} & \dfrac{\partial{g_{11}}}{\partial{u^\mu}} & g_{12} & g_{13}\\ g_{20} & \dfrac{\partial{g_{21}}}{\partial{u^\mu}} & g_{22} & g_{23}\\ g_{30} & \dfrac{\partial{g_{31}}}{\partial{u^\mu}} & g_{32} & g_{33} \end{array}\right| \\ & \quad\quad\quad\quad + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & g_{01} & \dfrac{\partial{g_{02}}}{\partial{u^\mu}}& g_{03}\\ g_{10} & g_{11} & \dfrac{\partial{g_{12}}}{\partial{u^\mu}} & g_{13}\\ g_{20} & g_{21} & \dfrac{\partial{g_{22}}}{\partial{u^\mu}} & g_{23}\\ g_{30} & g_{31} & \dfrac{\partial{g_{32}}}{\partial{u^\mu}} & g_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & g_{01} & g_{02} & \dfrac{\partial{g_{03}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & \dfrac{\partial{g_{13}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & \dfrac{\partial{g_{23}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & \dfrac{\partial{g_{33}}}{\partial{u^\mu}} \end{array}\right| \quad\quad(2) \end{aligned}$$ ここで，→記号の上げ下げの「反変計量テンソル」のところでやった議論と同様に考えれば，計量テンソルには逆行列が存在するので，$|g| \neq 0$。 よって，$g_{\mu\nu}$ の余因子行列を $G^{\mu\nu}$ とすると， $$(G^{\mu\nu}) = |g|(g^{\mu\nu})$$ です。

式 $(2)$ の右辺第1項を余因子展開すると， $$\dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}}G^{00} + \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}}G^{01} + \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}}G^{02} + \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}}G^{03} = \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu}$$ 同様にすれば， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 1}}}{\partial{u^\mu}} G^{1\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 2}}}{\partial{u^\mu}} G^{2\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 3}}}{\partial{u^\mu}} G^{3\nu} \\ &= \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} G^{\sigma\nu} \\ &= |g| \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu} \end{aligned}$$ $$\therefore \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu} = \dfrac{1}{|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}}$$ ここで， $$\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\mu} &= \dfrac{1}{2}g^{\lambda\sigma}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu\lambda}}}{\partial{u^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\sigma\nu}}}{\partial{u^\lambda}}\right)\\ &= \dfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}}\\ &= \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} \end{aligned}$$ ところで， $$\dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{1}{2\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}}$$ より， $$\Gamma^\mu_{\nu\mu} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}}$$ とかけます。

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