1. 高校生から味わう理論物理入門
  2. クリストッフェルの記号

クリストッフェルの記号

更新日時 2021/03/28
目次
  • 計量テンソルの微分

  • 第1種Christoffelの記号

  • 第2種Christoffelの記号

計量テンソルの微分

平行移動の節における議論により, gμν=hnmynxμymxν g_{\mu\nu} = h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} これを xαx^\alpha で微分すると, gμνxα=hnm2ynxμxαymxν+hnmynxμ2ymxνxα \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} = h_{nm}\dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}\dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} ここで, 2ynxμxα=2(hlnyl)xμxα=hln2ylxμxα \dfrac{\partial^2 y^n}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = \dfrac{\partial^2 (h^{ln}y_l)}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} = h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} 同様に, 2ymxνxα=hlm2ylxνxα \dfrac{\partial^2 y^m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} = h^{lm} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} よって, gμνxα=hnmhln2ylxμxαymxν+hnmhlmynxμ2ylxνxα=2ymxμxαymxν+2ymxνxαymxμ(1)\begin{aligned} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\alpha}} &= h_{nm}h^{ln} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} + h_{nm}h^{lm} \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial^2 y_l}{\partial x^\nu \partial x^\alpha} \\ &= \dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\mu \partial x^\alpha} \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\nu}} +\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\alpha}\dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}} \quad\quad(1) \end{aligned}

第1種Christoffelの記号

新たな記号を導入します。 Γμνσ:=12(gμνxσ+gμσxνgνσxμ) \Gamma_{\mu\nu\sigma} := \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\mu\sigma}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\mu}}\right) でもって第1種Christoffelの記号を定義します。 式 (1)(1) を使って,この定義式を変形していくと,以下のようなきれいな形を得られます(単純な計算なので省略しますが,なかなか大変な計算問題になるので是非やってみてください)。 Γμνσ=ymxμ2ymxνxσ \Gamma_{\mu\nu\sigma} = \dfrac{\partial{y^m}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_m}{\partial x^\nu \partial x^\sigma} この式は,Christoffel記号が4次元空間において計算されるものであるにも関わらず,より高次元な空間の情報を持っていることを示唆しています。 なぜなら,Christoffel記号は4次元空間の計量テンソルで計算できるにも関わらず,より高次元な ymy^m の微分に関わる情報と 等式で結ばれているからです。

さらに,この式より, Γμνσ=Γμσν \Gamma_{\mu\nu\sigma} = \Gamma_{\mu\sigma\nu} が成立します。また,定義より, Γμνσ+Γνμσ=gμνxσ \Gamma_{\mu\nu\sigma} + \Gamma_{\nu\mu\sigma} = \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} が成立することが計算により確かめられます。

第2種Christoffelの記号

Γνσμ:=gμλΓλνσ \Gamma^\mu_{\nu\sigma} := g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma} でもって第2種Christoffelの記号を定義します。定義式から, Γνσμ=gμλΓλνσ=gμλΓλσν=Γσνμ \Gamma^\mu_{\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\nu\sigma} = g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda\sigma\nu} = \Gamma^\mu_{\sigma\nu} が成立します。

第2種Christoffel記号について別の表現方法を導出します。計量テンソルを行列とみたて,その行列式の微分を考えます: guμ=g00uμg01g02g03g10uμg11g12g13g20uμg21g22g23g30uμg31g32g33+g00g01uμg02g03g10g11uμg12g13g20g21uμg22g23g30g31uμg32g33+g00g01g02uμg03g10g11g12uμg13g20g21g22uμg23g30g31g32uμg33+g00g01g02g03uμg10g11g12g13uμg20g21g22g23uμg30g31g32g33uμ(2)\begin{aligned} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \left|\begin{array}{cccc} \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}} & g_{01} & g_{02} & g_{03}\\ \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}} & g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}} & g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & \dfrac{\partial{g_{01}}}{\partial{u^\mu}} & g_{02} & g_{03}\\ g_{10} & \dfrac{\partial{g_{11}}}{\partial{u^\mu}} & g_{12} & g_{13}\\ g_{20} & \dfrac{\partial{g_{21}}}{\partial{u^\mu}} & g_{22} & g_{23}\\ g_{30} & \dfrac{\partial{g_{31}}}{\partial{u^\mu}} & g_{32} & g_{33} \end{array}\right| \\ & \quad\quad\quad\quad + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & g_{01} & \dfrac{\partial{g_{02}}}{\partial{u^\mu}}& g_{03}\\ g_{10} & g_{11} & \dfrac{\partial{g_{12}}}{\partial{u^\mu}} & g_{13}\\ g_{20} & g_{21} & \dfrac{\partial{g_{22}}}{\partial{u^\mu}} & g_{23}\\ g_{30} & g_{31} & \dfrac{\partial{g_{32}}}{\partial{u^\mu}} & g_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cccc} g_{00} & g_{01} & g_{02} & \dfrac{\partial{g_{03}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & \dfrac{\partial{g_{13}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & \dfrac{\partial{g_{23}}}{\partial{u^\mu}}\\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & \dfrac{\partial{g_{33}}}{\partial{u^\mu}} \end{array}\right| \quad\quad(2) \end{aligned} ここで,→記号の上げ下げの「反変計量テンソル」のところでやった議論と同様に考えれば,計量テンソルには逆行列が存在するので,g0|g| \neq 0。 よって,gμνg_{\mu\nu} の余因子行列を GμνG^{\mu\nu} とすると, (Gμν)=g(gμν) (G^{\mu\nu}) = |g|(g^{\mu\nu}) です。

(2)(2) の右辺第1項を余因子展開すると, g00uμG00+g10uμG01+g20uμG02+g30uμG03=gν0uμG0ν \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{u^\mu}}G^{00} + \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{u^\mu}}G^{01} + \dfrac{\partial{g_{20}}}{\partial{u^\mu}}G^{02} + \dfrac{\partial{g_{30}}}{\partial{u^\mu}}G^{03} = \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu} 同様にすれば, guμ=gν0uμG0ν+gν1uμG1ν+gν2uμG2ν+gν3uμG3ν=gνσuμGσν=ggνσuμgσν\begin{aligned} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} &= \dfrac{\partial{g_{\nu 0}}}{\partial{u^\mu}} G^{0\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 1}}}{\partial{u^\mu}} G^{1\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 2}}}{\partial{u^\mu}} G^{2\nu} + \dfrac{\partial{g_{\nu 3}}}{\partial{u^\mu}} G^{3\nu} \\ &= \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} G^{\sigma\nu} \\ &= |g| \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu} \end{aligned} gνσuμgσν=1gguμ \therefore \dfrac{\partial{g_{\nu \sigma}}}{\partial{u^\mu}} g^{\sigma\nu} = \dfrac{1}{|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} ここで, Γνμμ=12gλσ(gνλuσ+gλσuνgσνuλ)=12gλσgλσuν=12gguμ\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\mu} &= \dfrac{1}{2}g^{\lambda\sigma}\left(\dfrac{\partial{g_{\nu\lambda}}}{\partial{u^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\sigma\nu}}}{\partial{u^\lambda}}\right)\\ &= \dfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{u^\nu}}\\ &= \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} \end{aligned} ところで, 1gguν=1g12gguν=12gguμ \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{1}{2\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\nu}} = \dfrac{1}{2|g|} \dfrac{\partial{|g|}}{\partial{u^\mu}} より, Γνμμ=1gguν \Gamma^\mu_{\nu\mu} = \dfrac{1}{\sqrt{|g|}} \dfrac{\partial{\sqrt{|g|}}}{\partial{u^\nu}} とかけます。

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