クリストッフェルの記号
更新日時 2021/03/28
目次
計量テンソルの微分
第1種Christoffelの記号
第2種Christoffelの記号
計量テンソルの微分
平行移動の節における議論により, これを で微分すると, ここで, 同様に, よって,
第1種Christoffelの記号
新たな記号を導入します。 でもって第1種Christoffelの記号を定義します。 式 を使って,この定義式を変形していくと,以下のようなきれいな形を得られます(単純な計算なので省略しますが,なかなか大変な計算問題になるので是非やってみてください)。 この式は,Christoffel記号が4次元空間において計算されるものであるにも関わらず,より高次元な空間の情報を持っていることを示唆しています。 なぜなら,Christoffel記号は4次元空間の計量テンソルで計算できるにも関わらず,より高次元な の微分に関わる情報と 等式で結ばれているからです。
さらに,この式より, が成立します。また,定義より, が成立することが計算により確かめられます。