反変計量テンソル
まず計量テンソルを行列だと考えると,基準となる座標系 Xμ から座標変換でたどり着くことのできる座標においては,「逆行列」が存在することを示します。
Xμ→xμ に対して,計量テンソルがテンソルであることを使うと
gμν=∂xμ∂Xα∂xν∂Xβηαβ(1)
ここで Xμ における計量テンソルについては,
gμν:=ητσ∂Xμ∂Xτ∂Xν∂Xσ=ημν
であることを用いました。式 (1) の右辺について,これは三つの行列の式であるとみなすことができます。
よってこの式の行列式について考えると,ヤコビアンの二乗と ∣η∣ の積であることになります。
ここで,数学の定理よりヤコビアンが0であることと Xμ 成分同士に関数関係があることは同値です(ここはもうちょっとうまく説明できないか模索中です)が,そんなことはあり得ないのでヤコビアンは0ではありません。∣η∣ も0ではないから,
∣g∣=0
よって上記のような条件のもとでは,計量テンソルの逆行列が存在します。計量テンソルの成分 gμν に対し,その逆行列の成分を gμν であらわすことにします。行列と逆行列の積を取ることを考えて,
gμνgνρ=δμρ
が成立します。商の定理よりこれは(2,0)テンソルです。この(2,0)テンソルを反変計量テンソルといいます。