記号の上げ下げ

まず計量テンソルを行列だと考えると，基準となる座標系 $X^{\mu}$ から座標変換でたどり着くことのできる座標においては，「逆行列」が存在することを示します。

$X^{\mu} \to x^{\mu}$ に対して，計量テンソルがテンソルであることを使うと $$g_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{X^\alpha}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial{X^\beta}}{\partial{x^\nu}} \eta_{\alpha\beta} \tag{1}$$ ここで $X^\mu$ における計量テンソルについては， $$g_{\mu\nu} := \eta_{\tau\sigma}\dfrac{\partial{X^\tau}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{X^\sigma}}{\partial{X^{\nu}}} = \eta_{\mu\nu}$$ であることを用いました。式 $(1)$ の右辺について，これは三つの行列の式であるとみなすことができます。

よってこの式の行列式について考えると，ヤコビアンの二乗と $|\eta|$ の積であることになります。

ここで，数学の定理よりヤコビアンが0であることと $X^\mu$ 成分同士に関数関係があることは同値です（ここはもうちょっとうまく説明できないか模索中です）が，そんなことはあり得ないのでヤコビアンは0ではありません。$|\eta|$ も0ではないから， $$|g| \neq 0$$

よって上記のような条件のもとでは，計量テンソルの逆行列が存在します。計量テンソルの成分 $g_{\mu\nu}$ に対し，その逆行列の成分を $g^{\mu\nu}$ であらわすことにします。行列と逆行列の積を取ることを考えて， $$g_{\mu\nu}g^{\nu\rho} = \delta^\rho_\mu$$ が成立します。商の定理よりこれは(2,0)テンソルです。この(2,0)テンソルを反変計量テンソルといいます。

ある反変ベクトル $A^\mu$ に対し，計量テンソルとの縮合 $g_{\mu\nu}A^\nu$ を考えます。これは(0,1)テンソル，つまり共変ベクトルであるので，$B_{\mu}$ とかけます。

$B_{\mu}$ と反変計量テンソル　$g^{\mu\nu}$ との縮合について， $$g^{\sigma\nu}B_{\sigma} = g_{\mu\nu}g^{\sigma\nu}A^{\sigma} = \delta^{\mu}_{\sigma}A^{\sigma} = A^{\mu}$$ となり，$B_{\mu}$ は $A^\mu$ に戻すことができます。

$B_{\mu}$ はよく，$A^\mu$ と同じ情報を持つという意味で $A_\mu$ と表記されます。このように表記すると決めておけば，計量テンソルを用いて，添字を上げたり下げたりできるようになります。

一般的なテンソルについても同じです。例えば， $$g_{\mu\nu}T^{\sigma\mu\rho}_{\alpha} = T^{\sigma\rho}_{\nu\alpha}$$ となります。

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