• 記号の上げ下げ

    更新日時 2021/03/27

    ←前の記事　後の記事→

    計量テンソルの「逆行列」的な役割を担う反変計量テンソルについて解説した後，テンソルの添字の上げ下げについて説明します。

    目次

    • 反変計量テンソル

    • 記号の上げ下げ

    反変計量テンソル

    まず計量テンソルを行列だと考えると，基準となる座標系 XμX^{\mu} から座標変換でたどり着くことのできる座標においては，「逆行列」が存在することを示します。

    Xμ→xμX^{\mu} \to x^{\mu} に対して，計量テンソルがテンソルであることを使うと gμν=∂Xα∂xμ∂Xβ∂xνηαβ(1) g_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{X^\alpha}}{\partial{x^\mu}} \dfrac{\partial{X^\beta}}{\partial{x^\nu}} \eta_{\alpha\beta} \tag{1} ここで XμX^\mu における計量テンソルについては， gμν:=ητσ∂Xτ∂Xμ∂Xσ∂Xν=ημν g_{\mu\nu} := \eta_{\tau\sigma}\dfrac{\partial{X^\tau}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{X^\sigma}}{\partial{X^{\nu}}} = \eta_{\mu\nu} であることを用いました。式 (1)(1) の右辺について，これは三つの行列の式であるとみなすことができます。

    よってこの式の行列式について考えると，ヤコビアンの二乗と ∣η∣|\eta| の積であることになります。

    ここで，数学の定理よりヤコビアンが0であることと XμX^\mu 成分同士に関数関係があることは同値です（ここはもうちょっとうまく説明できないか模索中です）が，そんなことはあり得ないのでヤコビアンは0ではありません。∣η∣|\eta| も0ではないから， ∣g∣≠0 |g| \neq 0

    よって上記のような条件のもとでは，計量テンソルの逆行列が存在します。計量テンソルの成分 gμνg_{\mu\nu} に対し，その逆行列の成分を gμνg^{\mu\nu} であらわすことにします。行列と逆行列の積を取ることを考えて， gμνgνρ=δμρ g_{\mu\nu}g^{\nu\rho} = \delta^\rho_\mu が成立します。商の定理よりこれは(2,0)テンソルです。この(2,0)テンソルを反変計量テンソルといいます。

    記号の上げ下げ

    ある反変ベクトル AμA^\mu に対し，計量テンソルとの縮合 gμνAνg_{\mu\nu}A^\nu を考えます。これは(0,1)テンソル，つまり共変ベクトルであるので，BμB_{\mu} とかけます。

    BμB_{\mu} と反変計量テンソル　gμνg^{\mu\nu} との縮合について， gσνBσ=gμνgσνAσ=δσμAσ=Aμ g^{\sigma\nu}B_{\sigma} = g_{\mu\nu}g^{\sigma\nu}A^{\sigma} = \delta^{\mu}_{\sigma}A^{\sigma} = A^{\mu} となり，BμB_{\mu} は AμA^\mu に戻すことができます。

    BμB_{\mu} はよく，AμA^\mu と同じ情報を持つという意味で AμA_\mu と表記されます。このように表記すると決めておけば，計量テンソルを用いて，添字を上げたり下げたりできるようになります。

    一般的なテンソルについても同じです。例えば， gμνTασμρ=Tνασρ g_{\mu\nu}T^{\sigma\mu\rho}_{\alpha} = T^{\sigma\rho}_{\nu\alpha} となります。

    ←前の記事　後の記事→

    この記事の編集者
    でーちー

    公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。 受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。 大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。 学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。

    人気記事