4元ベクトル

$x^\mu = (ct,x,y,z)$ とします。

「$\tau$ で微分する」ということを，任意の慣性系$S$において $$t \text{で微分して} \sqrt{1-\dfrac{\|v\|^2}{c^2}} \text{でわること}$$ と定義します。このもとで，4元速度を， $$u^\mu = \dfrac{dx^\mu}{d\tau}$$ と定義します。

さて，Lorentz変換 $$x^{\mu'} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}x^\mu$$ が成立します。この両辺を $\tau$ で微分すれば， $$u^{\mu'} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}u^\mu$$ が成立するので，4元速度は4元ベクトルです。

4元速度について成立する式を紹介します。

→特殊相対論における固有時・時空間の伸び縮みにおける節「特殊相対性理論における固有時」で紹介した式： $$d\tau = \dfrac{1}{c}\sqrt{-ds^2}$$により， $$\begin{aligned} d\tau &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-ds^2}\\ \therefore d\tau^2 &= \dfrac{1}{c^2}(-ds^2) = -\dfrac{1}{c^2}\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu\\ \therefore -c^2 &= \eta_{\mu\nu} u^\mu u^\nu \tag{1} \end{aligned}$$

4元ベクトルと同様に，4元加速度を， $$a^\mu = \dfrac{du^\mu}{d\tau} = \dfrac{d^2 x^\mu}{d\tau^2}$$ と定義します。これが4元ベクトルであることは4元速度が4元ベクトルであることを証明するのと全く同様に示せます。

4元速度，4元加速度について成立する式を紹介します。

式 $(1)$ を $\tau$ で微分して $$\begin{aligned} \eta_{\mu\nu} a^\mu u^\nu + \eta_{\mu\nu} u^\mu a^\nu &= 0\\ \therefore \eta_{\mu\nu} u^\mu a^\nu &= 0 \end{aligned}$$ $\eta_{\mu\nu} u^\mu a^\nu$ は内積を表すから，4元速度と4元加速度は「直交」します。

ある物体に対し静止した系で測ったその物体の慣性質量を静止慣性質量といい，$m$で表します。

これを4元速度にかけて， $$P^\mu = mu^\mu$$ とした $P^\mu$ を4元運動量といいます。

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