計量テンソル

$\mu,\nu$ の取りうる値の範囲を $0,1,2,3$ とし，$\eta_{\mu\nu}$ を $$\eta_{\mu\nu} := \begin{cases} -1 & (\mu = \nu = 0)\\ 1 & (\mu = \nu \neq 0)\\ 0 & (\text{otherwise})\\ \end{cases}$$ という記号とします。$X^\mu \to x^{\mu}$なる変換を施すとき（$X^{\mu}$ とは特殊相対論では慣性系，一般相対論では局所慣性系とよばれる系における座標のことです。いまは基準の座標と思えば良いです）， 計量テンソル$g_{\mu\nu}$を $$g_{\mu\nu} := \eta_{\tau\sigma}\dfrac{\partial{X^\tau}}{\partial{x^{\mu}}}\dfrac{\partial{X^\sigma}}{\partial{x^{\nu}}}$$ と定義します。

計量テンソルがテンソルであることは内積を定義したのちに示します。定義から，計量テンソルは対称です。つまり， $$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$$

一般に$x^\mu \to x^{\mu'}$なる変換を施すとき， $$\begin{aligned} g_{\mu'\nu'}A^{\mu'}A^{\nu'} &= \eta_{\tau\sigma}\dfrac{\partial{X^\tau}}{\partial{x^{\mu'}}}\dfrac{\partial{X^\sigma}}{\partial{x^{\nu'}}}\dfrac{\partial{x^{\mu'}}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial{x^{\nu'}}}{\partial x^{\beta}}A^{\alpha}A^{\beta} \\ &= \eta_{\tau\sigma}\dfrac{\partial{X^\tau}}{\partial{x^\alpha}}\dfrac{\partial{X^\sigma}}{\partial{x^\beta}}A^{\alpha}A^{\beta} \\ &= g_{\alpha\beta}A^{\alpha}A^{\beta} \end{aligned}$$ という式により，$g_{\mu \nu}A^{\mu}A^{\nu}$はスカラーであるとわかるので，これをもって反変ベクトルの大きさを定義することにします。

$$(A, B) := g_{\mu \nu}A^{\mu}B^{\nu}$$ もスカラーであることを証明します。

よって，これをもって2つの反変ベクトルの内積を定義します。

反変ベクトル $A^\mu,B^\mu$ に対して，内積は一定であるから， $$g_{\mu'\nu'}A^{\mu'}B^{\nu'} = g_{\mu \nu}A^{\mu}B^{\nu} = g_{\mu \nu}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}A^{\mu'}B^{\nu}$$ 反変ベクトル $A^\mu,B^\mu$ は任意に取れるので， $$g_{\mu'\nu'} = \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}g_{\mu \nu}$$ よって，計量テンソルは(0,2)テンソルです。

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