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縮約・縮合・商の定理

更新日時 2021/03/27

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テンソルの縮約・縮合について解説します。また,ある量がテンソルであることを証明するのによく使う「商の定理」についても解説します。

目次
  • 縮約・縮合

  • 商の定理

縮約・縮合

ある(1,1)テンソル AνμA^\mu_\nu,ある(2,1)テンソル BβσαB^{\sigma\alpha}_\beta を考えます。これらの積 AνμBβσαA^\mu_\nu B^{\sigma\alpha}_\beta は(3,2)テンソルであることが容易にわかるので,これを CνβμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta} とおきます。 ここで CναμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha}CναμσαC^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\alpha'} には, Cνβμσα=xμxμxσxσxαxαxνxνxβxβCνβμσα C^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\beta'} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}} C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta} より,

Cναμσα=xμxμxσxσxαxαxνxνxβxαCνβμσα=xμxμxσxσxνxνxαxαxβxαCνβμσα=xμxμxσxσxνxνxβxαCνβμσα=xμxμxσxσxνxνδαβCνβμσα=xμxμxσxσxνxνCναμσα\begin{aligned} C^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\alpha'} &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\ &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\ &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\ &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\delta^\beta_\alpha C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\ &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha} \end{aligned}

という関係が成立します。よって CναμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha} は(2,1)テンソルです。

このように上下の添字を同じ文字にして(r,s)テンソルから(r-1,s-1)テンソルを作ることを縮約といいます。また,AνμA^\mu_\nuBβσαB^{\sigma\alpha}_\betaからAνμBβσνA^\mu_\nu B^{\sigma\nu}_\beta を作るというように,(a,b)テンソルと(c,d)テンソルから,(a+c,b+d)テンソルを作り,その上下の添字を同じにする(つまり縮約する)ことで(a+c-1, b+d-1)テンソルを作るという一連の流れを縮合といいます。

縮約と縮合は明確に区別されないことがありますが,当サイトではこのように区別して定義します。

商の定理

ある量と任意のテンソルの「縮合」がテンソルであれば,そのある量はテンソルである。このことを商の定理といいます。この説明の仕方は厳密でないので,具体例を示します。

ある量(テンソルとは限らない)RλμνR_{\lambda\mu\nu} とテンソル AλA^\lambda を用意して,その「縮合」(RλμνR_{\lambda\mu\nu}がテンソルとは決まっていないので縮合という言い方が今の段階では正しくはないため,かっこをつけている)AλRλμνA^\lambda R_{\lambda\mu\nu} がテンソルであったとする。 AλRλμν=Tμν A^\lambda R_{\lambda\mu\nu} = T_{\mu\nu} とおく。xμxμx^\mu \to x^{\mu'}なる変換を施すとき,各量が Aλ,Rλμν,TμνA^{\lambda'},R_{\lambda'\mu'\nu'},T_{\mu'\nu'} と表すことにする。 AλA^\lambdaTμνT_{\mu\nu} はテンソルなので, Aλ=xλxλAλTμν=xμxμxνxνTμν\begin{aligned} A^{\lambda'} = \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}A^{\lambda}\\ T_{\mu'\nu'} = \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}T_{\mu\nu} \end{aligned} が成立する。 AλRλμν=Tμν A^{\lambda'} R_{\lambda'\mu'\nu'} = T_{\mu'\nu'} にこれらを代入すると, AλRλμν=xμxμxνxνTμνxλxλAλRλμν=xμxμxνxνAλRλμν\begin{aligned} A^{\lambda'} R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}T_{\mu\nu}\\ \therefore \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}A^{\lambda}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}A^\lambda R_{\lambda\mu\nu} \end{aligned} AλA^\lambda は任意に取ることができるから, xλxλRλμν=xμxμxνxνRλμνxλxσxλxλRλμν=xλxσxμxμxνxνRλμνδσλRλμν=xλxμxμxσxνxνRλμνRσμν=xλxμxμxσxνxνRλμν\begin{aligned} \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ \delta^{\lambda'}_{\sigma'}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ R_{\sigma'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu} \end{aligned} これはRλμνR_{\lambda\mu\nu} が(0,3)テンソルであることを示す式である。

この具体例によって,商の定理の意味と,その証明が理解できたかと思います。

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