縮約・縮合・商の定理

更新 2021/03/27

テンソルの縮約・縮合について解説します。また，ある量がテンソルであることを証明するのによく使う「商の定理」についても解説します。

有理化をしないでtに置き換えて計算すると答えが違くなってしまうんですが何故ですか？どこか間違ってますか？ 3

シリンジに栓をして引っ張り、栓を外した時の吸引力はそのシリンジの体積で強くなりますか？それを示す数式などはありますか？ 4

縮約・縮合

ある(1,1)テンソル AνμA^\mu_\nuAνμ​，ある(2,1)テンソル BβσαB^{\sigma\alpha}_\betaBβσα​ を考えます。これらの積 AνμBβσαA^\mu_\nu B^{\sigma\alpha}_\betaAνμ​Bβσα​ は(3,2)テンソルであることが容易にわかるので，これを CνβμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}Cνβμσα​ とおきます。
ここで CναμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha}Cναμσα​ と Cν′α′μ′σ′α′C^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\alpha'}Cν′α′μ′σ′α′​ には,
Cν′β′μ′σ′α′=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xα′∂xα∂xν∂xν′∂xβ∂xβ′Cνβμσα
    C^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\beta'} = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta'}}
    C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}
Cν′β′μ′σ′α′​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xα∂xα′​∂xν′∂xν​∂xβ′∂xβ​Cνβμσα​
より，
Cν′α′μ′σ′α′=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xα′∂xα∂xν∂xν′∂xβ∂xα′Cνβμσα=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xν∂xν′∂xα′∂xα∂xβ∂xα′Cνβμσα=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xν∂xν′∂xβ∂xαCνβμσα=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xν∂xν′δαβCνβμσα=∂xμ′∂xμ∂xσ′∂xσ∂xν∂xν′Cναμσα\begin{aligned}
    C^{\mu'\sigma'\alpha'}_{\nu'\alpha'} &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\
    &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\alpha'}}{\partial x^{\alpha}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\
    &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\dfrac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\alpha}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\
    &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}\delta^\beta_\alpha C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\beta}\\
    &= \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\dfrac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\sigma}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}C^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha}
\end{aligned}Cν′α′μ′σ′α′​​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xα∂xα′​∂xν′∂xν​∂xα′∂xβ​Cνβμσα​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xν′∂xν​∂xα∂xα′​∂xα′∂xβ​Cνβμσα​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xν′∂xν​∂xα∂xβ​Cνβμσα​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xν′∂xν​δαβ​Cνβμσα​=∂xμ∂xμ′​∂xσ∂xσ′​∂xν′∂xν​Cναμσα​​
という関係が成立します。よって CναμσαC^{\mu\sigma\alpha}_{\nu\alpha}Cναμσα​ は(2,1)テンソルです。
このように上下の添字を同じ文字にして(r,s)テンソルから(r-1,s-1)テンソルを作ることを縮約といいます。また，AνμA^\mu_\nuAνμ​とBβσαB^{\sigma\alpha}_\betaBβσα​からAνμBβσνA^\mu_\nu B^{\sigma\nu}_\betaAνμ​Bβσν​ を作るというように，(a,b)テンソルと(c,d)テンソルから，(a+c,b+d)テンソルを作り，その上下の添字を同じにする（つまり縮約する）ことで(a+c-1, b+d-1)テンソルを作るという一連の流れを縮合といいます。
縮約と縮合は明確に区別されないことがありますが，当サイトではこのように区別して定義します。

商の定理

ある量と任意のテンソルの「縮合」がテンソルであれば，そのある量はテンソルである。このことを商の定理といいます。この説明の仕方は厳密でないので，具体例を示します。

例

ある量（テンソルとは限らない） $R_{\lambda\mu\nu}$ とテンソル $A^\lambda$ を用意して，その「縮合」（ $R_{\lambda\mu\nu}$ がテンソルとは決まっていないので縮合という言い方が今の段階では正しくはないため，かっこをつけている） $A^\lambda R_{\lambda\mu\nu}$ がテンソルであったとする。 $A^\lambda R_{\lambda\mu\nu} = T_{\mu\nu}$ とおく。 $x^\mu \to x^{\mu'}$ なる変換を施すとき，各量が $A^{\lambda'},R_{\lambda'\mu'\nu'},T_{\mu'\nu'}$ と表すことにする。 $A^\lambda$ と $T_{\mu\nu}$ はテンソルなので， $\begin{aligned} A^{\lambda'} = \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}A^{\lambda}\\ T_{\mu'\nu'} = \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}T_{\mu\nu} \end{aligned}$ が成立する。 $A^{\lambda'} R_{\lambda'\mu'\nu'} = T_{\mu'\nu'}$ にこれらを代入すると， $\begin{aligned} A^{\lambda'} R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}T_{\mu\nu}\\ \therefore \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}A^{\lambda}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}}A^\lambda R_{\lambda\mu\nu} \end{aligned}$ $A^\lambda$ は任意に取ることができるから， $\begin{aligned} \dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\lambda'}}{\partial x^{\lambda}}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ \delta^{\lambda'}_{\sigma'}R_{\lambda'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu}\\ R_{\sigma'\mu'\nu'} &= \dfrac{\partial x^{\lambda}}{\partial x^{\mu'}}\dfrac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\sigma'}}\dfrac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\nu'}} R_{\lambda\mu\nu} \end{aligned}$ これは $R_{\lambda\mu\nu}$ が(0,3)テンソルであることを示す式である。

この具体例によって，商の定理の意味と，その証明が理解できたかと思います。

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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。