ミンコフスキー空間

ある時空の点 $x_1^{\mu} = (ct_1, x_1, y_1, z_1), ~x_2^{\mu} = (ct_2, x_2, y_2, z_2)$ に対し，その相対ベクトル $x_r^{\mu} = (c(t_2-t_1), x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$ は明らかに反変ベクトルだと言えます。よってこのベクトルの大きさ $$s^2 = \eta_{\mu\nu}x_r^{\mu}x_r^{\nu} = -c^2(t_2-t_1)^2+ (x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2$$ はスカラーであり，座標変換（特殊相対性理論ではLorentz変換）に対して不変量です。このようにして定めた $s$ を，特殊相対性理論では距離として扱います。

このように2点間の距離が定められた4次元空間をMinkowski空間と呼びます。また，Minkowski空間で扱う計量テンソル $\eta_{\mu\nu}$ を，特別にMinkowski計量と呼ぶことがあります。

$(0,0,0,0)$ と $P(ct,x,y,z)$ の距離 $$-c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2$$ について考えます。$-c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 < 0$ となるように $P$ を取ってしまった場合，$s$ は実数にならず距離を定めることができません。ただ，できなくても構いません。その理由は，このように点を取った場合，どのように座標変換しても$(0,0,0,0)$ と $P(ct,x,y,z)$ は同時に観測できないからです。

上図を参照してください。$t' = 0$ の傾きは $\beta$ であるから，観測者の速度が $c$ 以上にならない限り傾きは常に $1$ より小さくなります。

この直線の上側は，$-c^2t^2 + x^2 < 0$ で表される領域です。この領域にある任意の点と原点に対しては，先ほども言った通り距離を定めることができませんが，$t' = 0$ を両方通るように定めることができないので，そもそも「同時」の概念が成立しません。

下側，$-c^2t^2 + x^2 > 0$ で表される領域については，$\beta$ を調整すれば任意の点と原点が同時になるように $t' = 0$ をひくことができます。

この議論は $-c^2t^2 + x^2 + y^2 < 0, -c^2t^2 + x^2 + y^2 > 0$ としても，円錐を考えることで全く同様にできます。

$-c^2t^2 + x^2 +y^2 + z^2< 0$ については4次元を想像できる人間がいない（少ない）ので，どう考えればよいか迷うかもしれませんが，空間成分の対称性からこれまでと同様な議論ができると考えてよいです。

$-c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 < 0$となる，原点を出発して時間をかければ到達できるが，原点と同時には存在できない領域を，時間的領域，$-c^2t^2 + x^2 + y^2 + z^2 > 0$となる，原点と同時に存在することができるが，時間をかけても到達することができない領域を，空間的領域といいます。

時間的領域には，距離というものを考えても意味はありません。同時に存在し得ないものの距離をはかったところでなににも使えないからです。また，同様に空間的領域では，時間というものを考えても意味はありません。これらのことは感覚的にも正しいと思えるでしょう。

←前の記事　後の記事→