特殊相対性理論における計量テンソル

更新 2021/03/28
特殊相対性理論的な空間における計量テンソルの具体的な値を求めることを考えます。
特殊相対性理論における計量テンソル

任意の慣性系 XμX^{\mu}Xμ での計量テンソルを求めることを考えます。
計量テンソルの定義から，ある基準となる慣性系 Xμ′X^{\mu'}Xμ′ を用意した時に，任意の慣性系での計量テンソル gμνg_{\mu\nu}gμν​は
gμν=ητ′σ′∂Xτ′∂Xμ∂Xσ′∂Xν
    g_{\mu\nu} = \eta_{\tau'\sigma'} \dfrac{\partial{X^{\tau'}}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{X^{\sigma'}}}{\partial{X^{\nu}}}
gμν​=ητ′σ′​∂Xμ∂Xτ′​∂Xν∂Xσ′​
とかけます。ここで η\etaη の定義により，
gμν=−∂(ct′)∂Xμ∂(ct′)∂Xν+∂x′∂Xμ∂x′∂Xν+∂y′∂Xμ∂y′∂Xν+∂z′∂Xμ∂z′∂Xν
    g_{\mu\nu} = -\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{\nu}}} + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{\nu}}} + \dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{\nu}}} + \dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{\mu}}}\dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{\nu}}}
gμν​=−∂Xμ∂(ct′)​∂Xν∂(ct′)​+∂Xμ∂x′​∂Xν∂x′​+∂Xμ∂y′​∂Xν∂y′​+∂Xμ∂z′​∂Xν∂z′​
これについて，地道に計算していくことを考えます。g00g_{00}g00​ について最初に考えます。一般速度に対するLorentz変換は→Lorentz変換を参考にしてください。
∂(ct′)∂X0=∂(ct′)∂ct=1c∂(ct′)∂t=1c∂∂t(γ(ct)−γVxcx−γVycy−γVzcz)=γ\begin{aligned}
    \dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{0}}} &= \dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{ct}} =\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{t}}\\
    &= \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial{}}{\partial{t}}\left( \gamma (ct) -\gamma\dfrac{V_x}{c} x -\gamma\dfrac{V_y}{c} y -\gamma\dfrac{V_z}{c}z\right)\\
    &= \gamma
\end{aligned}∂X0∂(ct′)​​=∂ct∂(ct′)​=c1​∂t∂(ct′)​=c1​∂t∂​(γ(ct)−γcVx​​x−γcVy​​y−γcVz​​z)=γ​
また，
∂(x′)∂X0=1c∂(x′)∂t=1c∂∂t(−γVxc(ct){1+(γ−1)Vx2V2}x+(γ−1)VxVyV2y+(γ−1)VxVzV2z)=−γVxc\begin{aligned}
    \dfrac{\partial{(x')}}{\partial{X^{0}}} &= \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial{(x')}}{\partial{t}}\\
    &= \dfrac{1}{c}\dfrac{\partial{}}{\partial{t}}\left(-\gamma\dfrac{V_x}{c}(ct)\left\{1+(\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2}\right\}x\right. \\
    &\quad\quad\quad\quad\quad\left.+ (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2} y+ (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2}z\right)\\
    &= -\gamma \dfrac{V_x}{c}
\end{aligned}∂X0∂(x′)​​=c1​∂t∂(x′)​=c1​∂t∂​(−γcVx​​(ct){1+(γ−1)V2Vx2​​}x+(γ−1)V2Vx​Vy​​y+(γ−1)V2Vx​Vz​​z)=−γcVx​​​
同様にすれば，
∂(y′)∂X0=−γVyc, ∂(z′)∂X0=−γVzc
    \dfrac{\partial{(y')}}{\partial{X^{0}}} = -\gamma \dfrac{V_y}{c}, ~\dfrac{\partial{(z')}}{\partial{X^{0}}} = -\gamma \dfrac{V_z}{c}
∂X0∂(y′)​=−γcVy​​, ∂X0∂(z′)​=−γcVz​​
これより，
g00=−∂(ct′)∂X0∂(ct′)∂X0+∂x′∂X0∂x′∂X0+∂y′∂X0∂y′∂X0+∂z′∂X0∂z′∂X0=−γ2+γ2(Vx2c2+Vy2c2+Vz2c2)=−γ2(1−V2c2)=−1\begin{aligned}
    g_{00} &= -\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{0}}} + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{0}}} + \dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{0}}} + \dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{0}}}\\
    &= -\gamma^2 + \gamma^2 \left(\dfrac{V_x^2}{c^2}+\dfrac{V_y^2}{c^2}+\dfrac{V_z^2}{c^2}\right)\\
    &= -\gamma^2 \left(1-\dfrac{V^2}{c^2}\right)\\
    &= -1
\end{aligned}g00​​=−∂X0∂(ct′)​∂X0∂(ct′)​+∂X0∂x′​∂X0∂x′​+∂X0∂y′​∂X0∂y′​+∂X0∂z′​∂X0∂z′​=−γ2+γ2(c2Vx2​​+c2Vy2​​+c2Vz2​​)=−γ2(1−c2V2​)=−1​
g11g_{11}g11​ について，
∂(ct′)∂X1=∂(ct′)∂x=∂∂x(γ(ct)−γVxcx−γVycy−γVzcz)=−γVxc\begin{aligned}
    \dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{1}}} &= \dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{x}}\\
    &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left( \gamma (ct) -\gamma\dfrac{V_x}{c} x -\gamma\dfrac{V_y}{c} y -\gamma\dfrac{V_z}{c}z\right)\\
    &= -\gamma\dfrac{V_x}{c}
\end{aligned}∂X1∂(ct′)​​=∂x∂(ct′)​=∂x∂​(γ(ct)−γcVx​​x−γcVy​​y−γcVz​​z)=−γcVx​​​
また，
∂(x′)∂X1=∂(x′)∂x=∂∂x(−γVxc(ct)+{1+(γ−1)Vx2V2}x+(γ−1)VxVyV2y+(γ−1)VxVzV2z)=1+(γ−1)Vx2V2\begin{aligned}
    \dfrac{\partial{(x')}}{\partial{X^{1}}} &= \dfrac{\partial{(x')}}{\partial{x}}\\
    &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(-\gamma\dfrac{V_x}{c}(ct) + \left\{1+(\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2}\right\}x \right.\\
    &\quad\quad\quad\quad\quad\left.+ (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2} y+ (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2}z\right)\\
    &= 1+(\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2}
\end{aligned}∂X1∂(x′)​​=∂x∂(x′)​=∂x∂​(−γcVx​​(ct)+{1+(γ−1)V2Vx2​​}x+(γ−1)V2Vx​Vy​​y+(γ−1)V2Vx​Vz​​z)=1+(γ−1)V2Vx2​​​
同様にすれば，
∂(y′)∂X1=(γ−1)VxVyV2, ∂(z′)∂X1=(γ−1)VxVzV2
    \dfrac{\partial{(y')}}{\partial{X^{1}}} = (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2}, ~ \dfrac{\partial{(z')}}{\partial{X^{1}}} = (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2}
∂X1∂(y′)​=(γ−1)V2Vx​Vy​​, ∂X1∂(z′)​=(γ−1)V2Vx​Vz​​
これより，
g11=−∂(ct′)∂X1∂(ct′)∂X1+∂x′∂X1∂x′∂X1+∂y′∂X1∂y′∂X1+∂z′∂X1∂z′∂X1=−γ2Vx2c2+{1+(γ−1)Vx2V2}2+{(γ−1)VxVyV2}2+{(γ−1)VxVzV2z}2=⋯=1\begin{aligned}
    g_{11} &= -\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{1}}}\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{1}}}\dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{1}}}\dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{1}}}\dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{1}}}\\
    &= -\gamma^2\dfrac{V_x^2}{c^2} + \left\{1+(\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2}\right\}^2 \\
    &\quad\quad\quad\quad\quad+ \left\{(\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2}\right\}^2 + \left\{(\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2}z\right\}^2\\
    &= \cdots = 1
\end{aligned}g11​​=−∂X1∂(ct′)​∂X1∂(ct′)​+∂X1∂x′​∂X1∂x′​+∂X1∂y′​∂X1∂y′​+∂X1∂z′​∂X1∂z′​=−γ2c2Vx2​​+{1+(γ−1)V2Vx2​​}2+{(γ−1)V2Vx​Vy​​}2+{(γ−1)V2Vx​Vz​​z}2=⋯=1​
また，g01g_{01}g01​ について，
g11=−∂(ct′)∂X0∂(ct′)∂X1+∂x′∂X0∂x′∂X1+∂y′∂X0∂y′∂X1+∂z′∂X0∂z′∂X1=γ⋅(−γVxc)+(−γVxc)⋅{1+(γ−1)Vx2V2}+(−γVyc)⋅(γ−1)VxVyV2+(−γVzc)⋅(γ−1)VxVzV2=⋯=0\begin{aligned}
    g_{11} &= -\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{(ct')}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{x'}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{y'}}{\partial{X^{1}}} + \dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{0}}}\dfrac{\partial{z'}}{\partial{X^{1}}}\\
    &= \gamma \cdot \left(-\gamma \dfrac{V_x}{c} \right)
    + \left(-\gamma \dfrac{V_x}{c} \right) \cdot \left\{1 + (\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2}\right\} \\
    &\quad \quad + \left(-\gamma \dfrac{V_y}{c} \right)\cdot (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2}
    + \left(-\gamma \dfrac{V_z}{c} \right)\cdot (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2} \\
    &= \cdots = 0
\end{aligned}g11​​=−∂X0∂(ct′)​∂X1∂(ct′)​+∂X0∂x′​∂X1∂x′​+∂X0∂y′​∂X1∂y′​+∂X0∂z′​∂X1∂z′​=γ⋅(−γcVx​​)+(−γcVx​​)⋅{1+(γ−1)V2Vx2​​}+(−γcVy​​)⋅(γ−1)V2Vx​Vy​​+(−γcVz​​)⋅(γ−1)V2Vx​Vz​​=⋯=0​
同様に計算していけば，
gμν=ημν
    g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}
gμν​=ημν​
であることがわかります。特殊相対性理論では，慣性系しか扱わないことから，計量テンソルを ημν\eta_{\mu\nu}ημν​ と書くことが多いです。
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この記事の監修者
でーちー
公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。