ローレンツ変換

$t = 0$ において座標系 $S, S'$ は重なっており，その瞬間に原点から光が発せられた状況を考えます。

$S'$ 系は $S$ 系に対して $+x$ の方向に速度 $v$ で等速度並進運動をしているとします。

その波面が $S$ 系で測った時刻 $t$ に，$P(x,y,z)$ に達したとすれば， $$\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = ct\\ \therefore x^2 + y^2 + z^2 = (ct)^2 \tag{1} \end{aligned}$$ $S'$ 系においても，光の速さは変わらないはずであるから， $$\begin{aligned} x'^2 + y'^2 + z'^2 = (ct')^2 \tag{2} \end{aligned}$$ さて，$S$ から $S'$ への変換を求めるというのは， $$\left(\begin{array}{c} t'\\ x'\\ y'\\ z'\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & a_3 & a_4\\ a_5 & a_6 & a_7 & a_8\\ a_9 & a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16}\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} t\\ x\\ y\\ z\\ \end{array}\right)$$ における $a_1$ から $a_{16}$ を決める作業に他なりません。ここで $a_1$ から $a_{16}$ は速度 $v$ の関数です。$0$ 次の項がないのは，$t = t' = 0$ において $x = x', y = y', z = z'$ となるためです。

また，$2$ 次以上の項があった場合，式 $(2)$ において $4$ 次以上の項が出てくることになりますが，式 $(1)$ ではそのような項はないので，矛盾します。

よって，$2$次以上の項はないはずです。また，$e^x, \sqrt{x}$ 等はどうすればいいかと思うかもしれませんが，テイラー展開すれば整式に帰着できるはずなので，これで尽くされます。

さて， $$x' = a_5 t + a_6x + a_7y + a_8z$$ において，$t = 0, x = 0$ のとき，いかなる $y,z$ においても $x '= 0$ になるはずなので，$a_7 = a_8 = 0$ です。よって， $$x' = a_5 t + a_6x$$ さらに，$t = t, x = vt$ のとき，$x' = 0$ となっていなければおかしいので $$\begin{aligned} 0 = a_5 t + a_6 vt\\ \therefore a_5 = -a_6 v \end{aligned}$$ よって， $$x' = a_6(x-vt)$$ とかけます。次に， $$y' = a_9 t+ a_{10} x+ a_{11} y+ a_{12}z\\$$ において，もし $t$ に比例する項が残っていたら，$t$ の変化とともに，$y'$方向に運動することになりますが，今は $x$ 方向のLorentz変換を考えているので不適です。よって $a_9 = 0$ 。同様に考えれば，$a_{13}=0$ です。

ここで，この状況設定において，空間の等方性より，$x$ 方向以外には特別な方向というのは存在しません。よって $y',z'$ の方向に特別な意味はないはずであり，これら二つは対称的な関係になっているはずです。よって，$a_{10} = a_{14}, a_{11} = a_{16}$ であり，さらに $a_{12} = -a_{15}$ です。

ここで，この式に負号がつくのは，$y',z'$を入れ 変えたときには，右手系から左手系に変わってしまうので，その調整をするためです。 これらをまとめれば， $$\begin{cases} t' = a_1t + a_2x + a_3y + a_4z\\ x' = a_6(x-vt)\\ y' = a_{10} x+ a_{11} y+ a_{12}z\\ z' = a_{10} x- a_{12} y+ a_{11}z\\ \end{cases} \tag{3}$$ となります。式 $(2)$ に代入する際プライムがついたこれらの式は全て二乗されるため，異なる二変数の積の項が出てきます。 具体的には， $$a_1a_2tx, a_1a_3ty, a_1a_4tz, ・・・$$ 等です。

式 $(1)$ ではそのような二変数の項はないことから，これらの係数は全て0にならなければなりません。これにより，いくつかの係数が0であることが以下のように導けます。

まずは，$ty,tz$ を含む項は，式 $(3)$ からしか出てこないので， $$a_1 a_3 = a_1 a_4 = 0$$ $a_1 \neq 0$ であるから， $$a_3 = a_4 = 0$$ また，$xy$ を含む項の係数について， $$2a_{10}a_{11}-2a_{10}a_{12} = 2a_{10}(a_{11}-a_{12}) = 0$$ $xz$ を含む項の係数について， $$2a_{10}a_{12}+2a_{10}a_{11} = 2a_{10}(a_{11}+a_{12}) = 0$$ もし $a_{10} \neq 0$ だとすると，$a_{11}=a_{12}=0$ であることになりますが，明らかに$a_{11} \neq 0$ であるから，不適です。よって$a_{10} = 0$。

さて，$y',z'$については $$\left(\begin{array}{c} y'\\ z'\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ -a_{12}&a_{11}\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} y\\ z\\ \end{array}\right) \tag{4}$$ と表されます。ここで $y'$ 軸の気持ちになってください。$v$ が $-v$ になったところで，$x$ の項をもたない自分にとっては，空間の等方性から変換のされ方に違いはありません。

$z'$ にとっても同じようなことが言えるので，$v$ を $-v$ にしても$\displaystyle\left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ -a_{12}&a_{11}\\ \end{array}\right)$の要素は全く変わりません。ここで，$S'$ から $S$ は $-v$ で等速度並進運動しているから， $$\left(\begin{array}{c} y\\ z\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ -a_{12}&a_{11}\\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} y'\\ z'\\ \end{array}\right)$$ というように全く同様にかけます。これを式 $(4)$ に代入すれば， $$\left( \begin{array}{c} y'\\ z'\\ \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ -a_{12}&a_{11}\\ \end{array}\right)^2 \left(\begin{array}{c} y'\\ z'\\ \end{array}\right)$$ $$\therefore \left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ -a_{12}&a_{11}\\ \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right)$$ $$\therefore\begin{cases} a_{11}^2 - a_{12}^2 = 1\\ a_{11} a_{12} = 0\\ \end{cases}$$ ここで$a_{11}=0$ とすると，$- a_{12}^2 = 1$ とはなり得ません。よって， $$a_{11} = \pm 1, ~ a_{12} = 0$$ ここで，$v \to 0$ の極限では $y,y'$ 軸は重なるはずなので，$a_{11} = 1$

よって， $$\begin{cases} t' = a_1t + a_2x\\ x' = a_6(x-vt)\\ y' = y\\ z' = z\\ \end{cases} \tag{5}$$ とかけるはずです。

再びこれを式 $(2)$ に代入し，整理して式 $(1)$ と係数を比較すれば，

$$\begin{cases} a_{6}^2 - c^2 a_2^2 = 1\\ c^2 a_1^2 - a_6^2 v^2 = c^2\\ 2va_6^2 + 2c^2 a_2a_1 = 0 \end{cases}$$ $v \to 0$ の極限では $x,x'$ 軸，$t,t'$ 軸は重なるはずなので，$a_1 > 0, ~ a_6 > 0$ であり，さらに $v \neq 0$ であることに注意しながら同値変形していくと， $$\begin{cases} a_1 = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\\ a_2 = -\dfrac{v}{c^2} a_1\\ a_6 = a_1 \end{cases}$$ これらを，式 $(5)$ に代入すれば，Lorentz変換： $$\begin{cases} t' = \dfrac{t -\dfrac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\\ \\ x' = \dfrac{x -vt}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\\ \\ y' = y\\ \\ z' = z \end{cases}$$ を導くことができます。

ここで， $$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, ~ \beta = \dfrac{v}{c}$$ と略記されることが多いことを記しておきます。

古典力学的な極限，つまり，$v/c$ が 0 に近いような極限では，Lorentz変換はGalilei変換に帰着しています。

Lorentz変換の式により， $$\begin{cases} t' = \gamma \left(t -\dfrac{\beta}{c}x\right)\\ x' = \gamma \left(x -vt\right) \end{cases}$$ ここで，$t'$ 軸というのは$tx$平面上にはどのようにかけるかを考えます。以下，$t$ は $ct$ として距離の単位で扱うことが多くなります。こうすると式が綺麗な形でまとまることが多いです。

$t'$ の軸は $x' = 0$ を満たすので， $$\begin{aligned} 0 = \gamma (x-vt)\\ \therefore x = vt\\ \therefore x = \beta (ct) \end{aligned}$$ 同様に，$x'$ の軸は $t' = 0$ を満たすので， $$\begin{aligned} 0 = \gamma \left(t -\dfrac{\beta}{c}x\right)\\ \therefore t = \dfrac{\beta}{c}x\\ \therefore ct = \beta x \end{aligned}$$ よって，$tx$ ならぬ $(ct)x$ 平面において，これを図示すると下図のようになります。$ct',x$ 軸は $y = x$ に対して対称的であることがわかります。

また，同様に考えれば，$ct' = \mathrm{const.}, ~ x' = \mathrm{const.}$ な直線も$(ct)x$ 平面上に引くことができます。

慣性系 $S'$ が，慣性系 $S$ に対して，速度 $\boldsymbol{V} = (V_x, V_y, V_z)$ で動いているとします。

$x$ 軸方向のLorentz変換の式からわかることは，時間と慣性系の進行方向の長さは違いに影響し合うが，垂直方向の長さは変わらないということです。

空間の等方性から，速度の方向が座標系に対してどの方向を向いていてもこのことは変わらないはずなので，空間成分を，速度の平行方向と垂直方向に分けて考えれば良いです。

変換前の位置ベクトルを $\boldsymbol{x}$，変換後の位置ベクトルを $\boldsymbol{x'}$ とおきます。速度方向の単位ベクトルを $\boldsymbol{e}$ とおきます。時間成分については， $$t' = \gamma \left(r - \dfrac{\beta}{c} \boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{e}\right)$$ が成立します。空間成分の速度と平行方向については， $$\boldsymbol{x'}\cdot \boldsymbol{e} = \gamma (\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{e} - vt)$$ 空間成分の速度と垂直方向については， $$\boldsymbol{x'}-\boldsymbol{x'}\cdot \boldsymbol{e} = \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{e}$$ となります。ここで $$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\|V\|^2}{c^2}}}, ~ \beta = \dfrac{\|V\|^2}{c}$$ であることに注意しましょう。これを地道に計算して，行列の形式で表すと，

$$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{c} ct'\\ x'\\ y'\\ z'\\ \end{array}\right) = \\ &\left(\begin{array}{cccc} \gamma & -\gamma\dfrac{V_x}{c} & -\gamma\dfrac{V_y}{c} & -\gamma\dfrac{V_z}{c}\\ -\gamma\dfrac{V_x}{c} & 1+(\gamma-1)\dfrac{V_x^2}{V^2} & (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2} & (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2}\\ -\gamma\dfrac{V_y}{c} & (\gamma-1)\dfrac{V_xV_y}{V^2} & 1+(\gamma-1)\dfrac{V_y^2}{V^2} & (\gamma-1)\dfrac{V_yV_z}{V^2}\\ -\gamma\dfrac{V_z}{c} & (\gamma-1)\dfrac{V_xV_z}{V^2} & (\gamma-1)\dfrac{V_yV_z}{V^2} & 1+(\gamma-1)\dfrac{V_z^2}{V^2} \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} ct\\ x\\ y\\ z\\ \end{array}\right) \end{aligned}$$

この変換の行列は，よく $\Lambda^\mu_\nu$ で表されます。$x^\mu = (ct, x,y,z) ~ (\mu = 0,1,2,3)$ と表すことにすれば， $$x^{\mu'} = \Lambda^{\mu'}_\mu x^{\mu}$$ と書くことができます。当サイトの反変ベクトルの節でも同様の議論をしますが，$\Lambda^{\mu'}_\mu = \dfrac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}}$ であるから，$x^{\mu}$ は反変ベクトルです。

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