相対論的電磁気学

電磁気学のMaxwell方程式を，相対論的に微修正したものが以下です。

ここで，$\rho$ は，観測している電荷が静止して見える慣性系で測ったものです。これに対し，Lorentz変換を行うと，空間の1方向 の長さが縮まるので， $$\tilde{\rho} = \dfrac{\rho}{\sqrt{1-\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}$$ と表されるはずです。電荷密度としてMaxwell方程式に登場するのは，$\rho$ ではなく $\tilde{\rho}$ です。

慣性系 $S$ について，電流 $\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t)$ が流れているとします。これに対して， 4元電流 $j^\mu$ を $$\begin{aligned} j^\mu &= (\tilde{\rho}c, i_x, i_y, i_z)\\ &= (\tilde{\rho}c, \tilde{\rho}v_x, \tilde{\rho}v_y, \tilde{\rho}v_z)\\ &= \left(\dfrac{\rho c}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_x}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_y}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_z}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}\right) \end{aligned}$$ で定義します。これは $j^\mu = \rho v^\mu$ を満たすため4元ベクトルです。

さらに，Maxwell方程式は，スカラーポテンシャル $\phi$，ベクトルポテンシャル $\boldsymbol{A}$ を用いることで， $$\begin{aligned} \Box \phi(\boldsymbol{x}, t) &= - \dfrac{\tilde{\rho}(\boldsymbol{x},t)}{\epsilon_0} \cdot\cdot\cdot(1)\\ \Box \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t) &= -\mu_0 \boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \cdot\cdot\cdot(2)\\ \mathrm{div}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{\partial{\phi(\boldsymbol{x}, t)}}{\partial{t}} &= 0 \end{aligned}$$ と同値です。ポテンシャルを用いて，$\boldsymbol{B}, \boldsymbol{E}$ は $$\begin{aligned} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}, t) &= \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t)\\ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) &= \dfrac{\partial{\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t)}}{\partial{t}} -\nabla \phi(\boldsymbol{x}, t) \end{aligned}$$ とかけます。$A^0 = \dfrac{\phi}{c}$ と定義すると，式 $(1),(2)$ は $$\Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu ~~(\mu = 0,1,2,3) \tag{*}$$ とまとめることができます。

ここで,ダランベルシアン $$\Box = \eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}$$ は，Lorentz変換に対して共変なスカラーです。その証明の概略は以下の通りです。

$$\dfrac{\partial{}}{\partial{t}} = \dfrac{\partial{t'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{t'}}+\dfrac{\partial{x'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x'}}+\dfrac{\partial{y'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{y'}}+\dfrac{\partial{z'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{z'}}$$ などとして，これを $$\Box = \eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}$$ に代入すると，$\Box = \Box'$ が導けます。

よって，式 $(*)$ において，$\Box$ がスカラー，$j^\mu$ が反変ベクトルであるから，$A^\mu$ も反変ベクトルにならざるを得ません。よって， $$A^\mu = \left(\dfrac{\phi}{c}, \boldsymbol{A}\right)$$ は4元ベクトルであり，4元ポテンシャルと呼ばれます。

さて，→物理的なテンソルの定義と例の交代テンソルの節で議論したように，ある反変ベクトルに対する交代テンソルは(0,2)テンソルになります。$A_{\mu} = \eta_{\nu\mu}A^\nu$ に対し，交代テンソル $$f_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}$$ を定義します。これは電磁場テンソルと呼ばれます。

電磁場テンソルについて具体的に成分を計算していくと，以下のようになります。 $$(f_{\mu\nu}) = \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}\right) = \left(\begin{array}{cccc} & -\dfrac{E_x}{c}& -\dfrac{E_y}{c}& -\dfrac{E_z}{c}\\ \dfrac{E_x}{c} & & B_z & -B_y\\ \dfrac{E_y}{c} & -B_z &&B_x\\ \dfrac{E_z}{c} & B_y & -B_x & \\ \end{array}\right)$$

これを用いると，Maxwell方程式4式は，以下のテンソル方程式2式に置き換えることができます。 $$\begin{aligned} \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{\nu}} = 0 \cdot\cdot\cdot(3)\\ \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} = \mu_0 j^\mu \cdot\cdot\cdot(4) \end{aligned}$$ 式 $(3)$ は(2,1)テンソルの式，式 $(4)$ は(1,0)テンソルの式です。

例えば，$\textrm{div} \boldsymbol{B} = 0$ は $$\dfrac{\partial{B_x}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{B_y}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{B_z}}{\partial{z}} = 0$$ より， $$\dfrac{\partial{f_{23}}}{\partial{x^1}} + \dfrac{\partial{f_{31}}}{\partial{x^2}} + \dfrac{\partial{f_{12}}}{\partial{x^3}} = 0$$ とすることができます。他も同様です。

よってこのことから，Maxwell方程式はLorentz変換に対して共変です。

テンソルの一般論から変換に対して共変なことを簡潔に示せるのは，とてもおもしろいです。ただ，テンソルを使わなくとも，共変性を示すことはできます。計算してみると楽しいかもしれません。

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