相対論的電磁気学

更新日時 2021/04/09

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電磁気学についても相対論的な議論を試みます。古典的な電磁気学を,相対性理論と辻褄が合うように書き換えていきます。

目次
  • 4元ポテンシャル

  • 電磁場テンソル

  • Maxwell方程式の共変性

4元ポテンシャル

電磁気学のMaxwell方程式を,相対論的に微修正したものが以下です。

主原理

空間上の任意の点において,ρ,j,E,B\rho, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{E}, \boldsymbol{B} の間に以下の四つの関係式が成立する。 E=ρ~ϵ0×E=BtB=0c2×B=jϵ0+Et\begin{aligned} &\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E} = \dfrac{\tilde{\rho}}{\epsilon_0} \\ &\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial{\boldsymbol{B}}}{\partial{t}} \\ &\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} = 0 \\ c^2 \displaystyle &\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B} = \dfrac{\boldsymbol{j}}{\epsilon_0} + \dfrac{\partial{\boldsymbol{E}}}{\partial{t}} \end{aligned}

ここで,ρ\rho は,観測している電荷が静止して見える慣性系で測ったものです。これに対し,Lorentz変換を行うと,空間の1方向 の長さが縮まるので, ρ~=ρ1v2c2 \tilde{\rho} = \dfrac{\rho}{\sqrt{1-\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}} と表されるはずです。電荷密度としてMaxwell方程式に登場するのは,ρ\rho ではなく ρ~\tilde{\rho} です。

慣性系 SS について,電流 i(x,t)\boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) が流れているとします。これに対して, 4元電流 jμj^\mujμ=(ρ~c,ix,iy,iz)=(ρ~c,ρ~vx,ρ~vy,ρ~vz)=(ρc1v2c2,ρvx1v2c2,ρvy1v2c2,ρvz1v2c2)\begin{aligned} j^\mu &= (\tilde{\rho}c, i_x, i_y, i_z)\\ &= (\tilde{\rho}c, \tilde{\rho}v_x, \tilde{\rho}v_y, \tilde{\rho}v_z)\\ &= \left(\dfrac{\rho c}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_x}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_y}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}, \dfrac{\rho v_z}{\sqrt{1-\displaystyle\dfrac{\|v\|^2}{c^2}}}\right) \end{aligned} で定義します。これは jμ=ρvμj^\mu = \rho v^\mu を満たすため4元ベクトルです。

さらに,Maxwell方程式は,スカラーポテンシャル ϕ\phi,ベクトルポテンシャル A\boldsymbol{A} を用いることで, ϕ(x,t)=ρ~(x,t)ϵ0(1)A(x,t)=μ0i(x,t)(2)divA(x,t)+ϵ0μ0ϕ(x,t)t=0\begin{aligned} \Box \phi(\boldsymbol{x}, t) &= - \dfrac{\tilde{\rho}(\boldsymbol{x},t)}{\epsilon_0} \cdot\cdot\cdot(1)\\ \Box \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t) &= -\mu_0 \boldsymbol{i}(\boldsymbol{x},t) \cdot\cdot\cdot(2)\\ \mathrm{div}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t) + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac{\partial{\phi(\boldsymbol{x}, t)}}{\partial{t}} &= 0 \end{aligned} と同値です。ポテンシャルを用いて,B,E\boldsymbol{B}, \boldsymbol{E}B(x,t)=×A(x,t)E(x,t)=A(x,t)tϕ(x,t)\begin{aligned} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{x}, t) &= \nabla \times \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t)\\ \boldsymbol{E}(\boldsymbol{x}, t) &= \dfrac{\partial{\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}, t)}}{\partial{t}} -\nabla \phi(\boldsymbol{x}, t) \end{aligned} とかけます。A0=ϕcA^0 = \dfrac{\phi}{c} と定義すると,式 (1),(2)(1),(2)Aμ=μ0jμ  (μ=0,1,2,3)(*) \Box A^\mu = -\mu_0 j^\mu ~~(\mu = 0,1,2,3) \tag{*} とまとめることができます。

ここで,ダランベルシアン =ημνxμxν=2x2+2y2+2z21c22t2 \Box = \eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} は,Lorentz変換に対して共変なスカラーです。その証明の概略は以下の通りです。

t=ttt+xtx+yty+ztz \dfrac{\partial{}}{\partial{t}} = \dfrac{\partial{t'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{t'}}+\dfrac{\partial{x'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x'}}+\dfrac{\partial{y'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{y'}}+\dfrac{\partial{z'}}{\partial{t}}\dfrac{\partial{}}{\partial{z'}} などとして,これを =ημνxμxν=2x2+2y2+2z21c22t2 \Box = \eta_{\mu\nu}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial{}}{\partial{x^\nu}} = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2}{\partial z^2} -\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2} に代入すると,=\Box = \Box' が導けます。

よって,式 ()(*) において,\Box がスカラー,jμj^\mu が反変ベクトルであるから,AμA^\mu も反変ベクトルにならざるを得ません。よって, Aμ=(ϕc,A) A^\mu = \left(\dfrac{\phi}{c}, \boldsymbol{A}\right) は4元ベクトルであり,4元ポテンシャルと呼ばれます。

電磁場テンソル

さて,→物理的なテンソルの定義と例の交代テンソルの節で議論したように,ある反変ベクトルに対する交代テンソルは(0,2)テンソルになります。Aμ=ηνμAνA_{\mu} = \eta_{\nu\mu}A^\nu に対し,交代テンソル fμν=AνxμAμxν f_{\mu\nu} = \dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}} を定義します。これは電磁場テンソルと呼ばれます。

Maxwell方程式の共変性

電磁場テンソルについて具体的に成分を計算していくと,以下のようになります。 (fμν)=(AνxμAμxν)=(ExcEycEzcExcBzByEycBzBxEzcByBx) (f_{\mu\nu}) = \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{A_\mu}}{\partial{x^\nu}}\right) = \left(\begin{array}{cccc} & -\dfrac{E_x}{c}& -\dfrac{E_y}{c}& -\dfrac{E_z}{c}\\ \dfrac{E_x}{c} & & B_z & -B_y\\ \dfrac{E_y}{c} & -B_z &&B_x\\ \dfrac{E_z}{c} & B_y & -B_x & \\ \end{array}\right)

これを用いると,Maxwell方程式4式は,以下のテンソル方程式2式に置き換えることができます。 fμνσ+fνσμ+fσμν=0(3)fμνxν=μ0jμ(4)\begin{aligned} \dfrac{\partial{f_{\mu\nu}}}{\partial{\sigma}} + \dfrac{\partial{f_{\nu\sigma}}}{\partial{\mu}} + \dfrac{\partial{f_{\sigma\mu}}}{\partial{\nu}} = 0 \cdot\cdot\cdot(3)\\ \dfrac{\partial{f^{\mu\nu}}}{\partial{x^\nu}} = \mu_0 j^\mu \cdot\cdot\cdot(4) \end{aligned}(3)(3) は(2,1)テンソルの式,式 (4)(4) は(1,0)テンソルの式です。

例えば,divB=0\textrm{div} \boldsymbol{B} = 0Bxx+Byy+Bzz=0 \dfrac{\partial{B_x}}{\partial{x}} + \dfrac{\partial{B_y}}{\partial{y}} + \dfrac{\partial{B_z}}{\partial{z}} = 0 より, f23x1+f31x2+f12x3=0 \dfrac{\partial{f_{23}}}{\partial{x^1}} + \dfrac{\partial{f_{31}}}{\partial{x^2}} + \dfrac{\partial{f_{12}}}{\partial{x^3}} = 0 とすることができます。他も同様です。

よってこのことから,Maxwell方程式はLorentz変換に対して共変です。

テンソルの一般論から変換に対して共変なことを簡潔に示せるのは,とてもおもしろいです。ただ,テンソルを使わなくとも,共変性を示すことはできます。計算してみると楽しいかもしれません。

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