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なぜテンソルを使うのか

更新日時 2021/03/28
目次
  • 物理でテンソルを使う理由・意味

物理でテンソルを使う理由・意味

相対性理論では,テンソルの式によって物理法則を表すことを目標とします。

なぜテンソルを使うと都合が良いか考えましょう。

ある座標系 xμx^{\mu} において,物理法則 Aβα=BαγCγβ A^\alpha_{\beta} = B^{\alpha\gamma}C_{\gamma\beta} が成立していたとします。Aβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta} はこの座標系における物理量であり,(当然ですが)他の座標系ではかった物理量は含まれていません。

もし他の座標系でAβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta}に対応する物理量 Aβα,Bαγ,CγβA^{\alpha'}_{\beta'},B^{\alpha'\gamma'},C_{\gamma'\beta'}に対し, AβαBαγCγβA^{\alpha'}_{\beta'} \neq B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'}であったとすれば,この物理法則はある座標系にのみ成立する限定的なものであり,普遍的な物理法則とは言えません。座標系 xμx^{\mu} から座標変換して,座標系 xμx^{\mu'} に観測系を移したとしても,成立しているような物理法則が普遍的で追い求めたいものです。

Aβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta} がテンソルであるとします。すると, {Aβα=xαxαxβxβAβαBαγ=xαxαxγxγBαγCγβ=xγxγxβxβCγβ \begin{cases} \displaystyle A^\alpha_{\beta} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} A^{\alpha'}_{\beta'}\\ \displaystyle B^{\alpha\gamma} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} B^{\alpha'\gamma'}\\ \displaystyle C_{\gamma\beta} = \dfrac{\partial x^{\gamma'}}{\partial x^{\gamma}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} C_{\gamma'\beta'} \end{cases} が成立します。これをある座標系 xμx^{\mu} における物理法則に代入すると, xαxαxβxβAβα=xαxαxγxγBαγxγxγxβxβCγβ=xαxαxβxβBαγCγβ \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} A^{\alpha'}_{\beta'} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} B^{\alpha'\gamma'} \dfrac{\partial x^{\gamma'}}{\partial x^{\gamma}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} C_{\gamma'\beta'} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}}B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'} よって Aβα=BαγCγβ A^{\alpha'}_{\beta'} = B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'} ある座標系 xμx^{\mu} において,成立していた物理法則 Aβα=BαγCγβ A^\alpha_{\beta} = B^{\alpha\gamma}C_{\gamma\beta} が,変換後の座標系 xμx^{\mu'}においても全く同じ形で成立していることがわかります。テンソルによって記述される物理法則は,どんな座標系でも同じ形で成立するのです。

これがテンソルが物理において本質的である理由です。Einsteinが相対論において規定した原理には,「物理法則はどんな座標系でも形がかわらない」というものが含まれていて,これはテンソルで物理法則が描かれるならば満たされるのです。

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