なぜテンソルを使うのか

更新 2021/03/28

物理でテンソルが使われる理由やその意味について解説します。

物理でテンソルを使う理由・意味

相対性理論では，テンソルの式によって物理法則を表すことを目標とします。
なぜテンソルを使うと都合が良いか考えましょう。
ある座標系 xμx^{\mu}xμ において，物理法則
Aβα=BαγCγβ
    A^\alpha_{\beta} = B^{\alpha\gamma}C_{\gamma\beta}
Aβα​=BαγCγβ​
が成立していたとします。Aβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta}Aβα​,Bαγ,Cγβ​ はこの座標系における物理量であり，（当然ですが）他の座標系ではかった物理量は含まれていません。
もし他の座標系でAβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta}Aβα​,Bαγ,Cγβ​に対応する物理量 Aβ′α′,Bα′γ′,Cγ′β′A^{\alpha'}_{\beta'},B^{\alpha'\gamma'},C_{\gamma'\beta'}Aβ′α′​,Bα′γ′,Cγ′β′​に対し，
Aβ′α′≠Bα′γ′Cγ′β′A^{\alpha'}_{\beta'} \neq B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'}Aβ′α′​=Bα′γ′Cγ′β′​であったとすれば，この物理法則はある座標系にのみ成立する限定的なものであり，普遍的な物理法則とは言えません。座標系 xμx^{\mu}xμ から座標変換して，座標系 xμ′x^{\mu'}xμ′ に観測系を移したとしても，成立しているような物理法則が普遍的で追い求めたいものです。
Aβα,Bαγ,CγβA^\alpha_{\beta},B^{\alpha\gamma},C_{\gamma\beta}Aβα​,Bαγ,Cγβ​ がテンソルであるとします。すると，
{Aβα=∂xα∂xα′∂xβ′∂xβAβ′α′Bαγ=∂xα∂xα′∂xγ∂xγ′Bα′γ′Cγβ=∂xγ′∂xγ∂xβ′∂xβCγ′β′
    \begin{cases}
        \displaystyle A^\alpha_{\beta} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} A^{\alpha'}_{\beta'}\\
        \displaystyle B^{\alpha\gamma} = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} B^{\alpha'\gamma'}\\
        \displaystyle C_{\gamma\beta} = \dfrac{\partial x^{\gamma'}}{\partial x^{\gamma}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} C_{\gamma'\beta'}
    \end{cases}
⎩⎨⎧​Aβα​=∂xα′∂xα​∂xβ∂xβ′​Aβ′α′​Bαγ=∂xα′∂xα​∂xγ′∂xγ​Bα′γ′Cγβ​=∂xγ∂xγ′​∂xβ∂xβ′​Cγ′β′​​
が成立します。これをある座標系 xμx^{\mu}xμ における物理法則に代入すると，
∂xα∂xα′∂xβ′∂xβAβ′α′=∂xα∂xα′∂xγ∂xγ′Bα′γ′∂xγ′∂xγ∂xβ′∂xβCγ′β′=∂xα∂xα′∂xβ′∂xβBα′γ′Cγ′β′
    \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} A^{\alpha'}_{\beta'}
     =  \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma'}} B^{\alpha'\gamma'}
     \dfrac{\partial x^{\gamma'}}{\partial x^{\gamma}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}} C_{\gamma'\beta'}
     = \dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\alpha'}}\dfrac{\partial x^{\beta'}}{\partial x^{\beta}}B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'}
∂xα′∂xα​∂xβ∂xβ′​Aβ′α′​=∂xα′∂xα​∂xγ′∂xγ​Bα′γ′∂xγ∂xγ′​∂xβ∂xβ′​Cγ′β′​=∂xα′∂xα​∂xβ∂xβ′​Bα′γ′Cγ′β′​
よって
Aβ′α′=Bα′γ′Cγ′β′
    A^{\alpha'}_{\beta'}
     =  B^{\alpha'\gamma'}C_{\gamma'\beta'}
Aβ′α′​=Bα′γ′Cγ′β′​
ある座標系 xμx^{\mu}xμ において，成立していた物理法則
Aβα=BαγCγβ
    A^\alpha_{\beta} = B^{\alpha\gamma}C_{\gamma\beta}
Aβα​=BαγCγβ​
が，変換後の座標系 xμ′x^{\mu'}xμ′においても全く同じ形で成立していることがわかります。テンソルによって記述される物理法則は，どんな座標系でも同じ形で成立するのです。
これがテンソルが物理において本質的である理由です。Einsteinが相対論において規定した原理には，「物理法則はどんな座標系でも形がかわらない」というものが含まれていて，これはテンソルで物理法則が描かれるならば満たされるのです。
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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。