曲率テンソル

ベクトル $A_\nu$ に対し，$\nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu$ を考えます。 $$\begin{aligned} \nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu &= \nabla_\sigma \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}A_\alpha\right)\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}A_\alpha\right)\\ &\quad\quad\quad- \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\left(\dfrac{\partial{A_\alpha}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}A_\beta\right)\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad- \Gamma^{\alpha}_{\rho\sigma}\left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\alpha}} - \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}A_\beta\right) \end{aligned}$$

同様に，$\nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu$ を考えて，これらの差をとると（省略しているが長めの計算が必要）， $$\nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu - \nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu = A_\beta\left(\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\sigma}}}}{\partial{x^\rho}}-\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\rho}}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\sigma}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\rho}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\sigma}}\right)$$ ここで， $$R^\beta_{\nu\rho\sigma} := \dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\sigma}}}}{\partial{x^\rho}}-\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\rho}}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\sigma}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\rho}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\sigma}}$$ とおけば， $$\nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu - \nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu = A_\beta R^\beta_{\nu\rho\sigma}$$ とかけます。「商の定理」により，$R^\beta_{\nu\rho\sigma}$ は(1,3)テンソルです。このテンソルを，Riemann-Christoffel・テンソル，あるいは単に曲率テンソルといいます。

$A_\mu$を$dx, dy$の順で平行移動することを考えます。

まず，スタート地点 $x$ での共変ベクトル $A_\mu$ を $x+dx$ まで平行移動すると， $$A_\mu + dA_\mu = A_\mu + \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} A_\sigma dx^\nu$$ となります。これをさらに，$dy$ だけ並行移動させると， $$A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(x+dx))$$ となります。ここで，第3項については， $$d(A_\mu(x+dx)) = \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x+dx) A_\sigma(x+dx) dy^\nu$$ であり， $$\begin{aligned} \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x+dx) &\approx \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x) + \dfrac{\partial{\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}dx^\rho\\ A_\sigma(x+dx) &\approx A_\sigma + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta \end{aligned}$$ を代入して，3次以上を無視すれば， $$\begin{aligned} &A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(x+dx))\\ &\approx A_\mu + \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} A_\sigma dx^\nu + \left(\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} + \dfrac{\partial{\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}dx^\rho\right)(A_\sigma + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta)dy^\nu\\ &= A_\mu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dx^\nu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dy^\nu + \Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta dy^\nu + \dfrac{\partial{\Gamma^\sigma_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}A_\sigma dx^\rho dy^\nu \end{aligned}$$

これと同様に，$dy, dx$の順で平行移動すると（単に$dx,dy$ を入れ替えれば済みます）， $$\begin{split} A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(y+dy)) &= A_\mu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dy^\nu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dx^\nu \\ & + \Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta}A_\alpha dy^\beta dx^\nu + \dfrac{\partial{\Gamma^\sigma_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}A_\sigma dy^\rho dx^\nu \\ \end{split}$$

これら二つの異なる経路を通って平行移動させた時の差を計算すると， $$\begin{aligned} \left(\Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} - \Gamma^\sigma_{\mu\beta}\Gamma^\alpha_{\sigma\nu} + \dfrac{\partial{\Gamma^\alpha_{\mu\nu}}}{\partial{x^\beta}} - \dfrac{\partial{\Gamma^\alpha_{\mu\beta}}}{\partial{x^\nu}}\right)A_\alpha dx^\beta dy^\nu = R^\alpha_{\mu\nu\beta}A_\alpha dx^\beta dy^\nu \end{aligned}$$ となって，ここに曲率テンソルが出現します。曲がっていない平面上であれば，別の経路を通って平行移動しても，差は生まれないはずです。 これは曲率テンソルが $0$ になることと合致する。また，曲がっている平面上だと，別の経路を通って平行移動すれば， 差が生まれることがあるでしょう。その差が曲率テンソルに依るのです。これらの直感的な議論と曲率の定義はよく一致することが確かめられます。

式の形から曲率テンソルは単位面積あたりの曲がり具合に関係することがわかります。$dx^\beta, dy^\nu$ が微小であれば，ピンポイントで $x$ における曲がり具合を表すと言えるでしょう。

Ricciテンソル $R_{\nu\sigma}$ を，曲率テンソル $R^\mu_{\nu\rho\sigma}$ の縮約を用いて， $$R_{\nu\sigma} := R^\mu_{\nu\mu\sigma}$$ で定義します。曲率テンソルに対し， $$R^\mu_{\nu\rho\sigma} = R^\sigma_{\rho\nu\mu}$$ より， $$R_{\nu\rho} = R_{\rho\nu}$$ の関係があります。

スカラー曲率 $R$ を，Ricciテンソルを用いて， $$R = g^{\nu\rho}R_{\nu\rho} = R^\rho_\rho$$ で定義します。

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