曲率テンソル

更新日時 2021/03/28

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空間の曲がり具合を表すテンソルです。原理の式にも登場するとても重要なテンソルです。

目次
  • 曲率テンソルの定義

  • なぜ曲率テンソルか

  • Ricciテンソル

  • スカラー曲率

曲率テンソルの定義

ベクトル AνA_\nu に対し,σρAν\nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu を考えます。 σρAν=σ(AνxρΓνραAα)=xσ(AνxρΓνραAα)Γνσα(AαxρΓαρβAβ)Γρσα(AνxαΓναβAβ)\begin{aligned} \nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu &= \nabla_\sigma \left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}A_\alpha\right)\\ &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x^\sigma}}\left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}A_\alpha\right)\\ &\quad\quad\quad- \Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\left(\dfrac{\partial{A_\alpha}}{\partial{x^\rho}} - \Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}A_\beta\right)\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad- \Gamma^{\alpha}_{\rho\sigma}\left(\dfrac{\partial{A_\nu}}{\partial{x^\alpha}} - \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}A_\beta\right) \end{aligned}

同様に,ρσAν\nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu を考えて,これらの差をとると(省略しているが長めの計算が必要), σρAνρσAν=Aβ(ΓνσβxρΓνρβxσ+ΓνσαΓαρβΓνραΓασβ) \nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu - \nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu = A_\beta\left(\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\sigma}}}}{\partial{x^\rho}}-\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\rho}}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\sigma}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\rho}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\sigma}}\right) ここで, Rνρσβ:=ΓνσβxρΓνρβxσ+ΓνσαΓαρβΓνραΓασβ R^\beta_{\nu\rho\sigma} := \dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\sigma}}}}{\partial{x^\rho}}-\dfrac{\partial{\Gamma^{\beta}_{{\nu}{\rho}}}}{\partial{x^\sigma}} + \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\sigma}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\rho}} - \Gamma^{\alpha}_{{\nu}{\rho}}\Gamma^{\beta}_{{\alpha}{\sigma}} とおけば, σρAνρσAν=AβRνρσβ \nabla_\sigma \nabla_\rho A_\nu - \nabla_\rho \nabla_\sigma A_\nu = A_\beta R^\beta_{\nu\rho\sigma} とかけます。「商の定理」により,RνρσβR^\beta_{\nu\rho\sigma} は(1,3)テンソルです。このテンソルを,Riemann-Christoffel・テンソル,あるいは単に曲率テンソルといいます。

なぜ曲率テンソルか

AμA_\mudx,dydx, dyの順で平行移動することを考えます。

まず,スタート地点 xx での共変ベクトル AμA_\mux+dxx+dx まで平行移動すると, Aμ+dAμ=Aμ+ΓμνσAσdxν A_\mu + dA_\mu = A_\mu + \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} A_\sigma dx^\nu となります。これをさらに,dydy だけ並行移動させると, Aμ+dAμ+d(Aμ(x+dx)) A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(x+dx)) となります。ここで,第3項については, d(Aμ(x+dx))=Γμνσ(x+dx)Aσ(x+dx)dyν d(A_\mu(x+dx)) = \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x+dx) A_\sigma(x+dx) dy^\nu であり, Γμνσ(x+dx)Γμνσ(x)+ΓμνσxρdxρAσ(x+dx)Aσ+ΓσβαAαdxβ\begin{aligned} \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x+dx) &\approx \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}(x) + \dfrac{\partial{\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}dx^\rho\\ A_\sigma(x+dx) &\approx A_\sigma + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta \end{aligned} を代入して,3次以上を無視すれば, Aμ+dAμ+d(Aμ(x+dx))Aμ+ΓμνσAσdxν+(Γμνσ+Γμνσxρdxρ)(Aσ+ΓσβαAαdxβ)dyν=Aμ+ΓμναAσdxν+ΓμναAσdyν+ΓμνσΓσβαAαdxβdyν+ΓμνσxρAσdxρdyν\begin{aligned} &A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(x+dx))\\ &\approx A_\mu + \Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} A_\sigma dx^\nu + \left(\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} + \dfrac{\partial{\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}dx^\rho\right)(A_\sigma + \Gamma^{\alpha}_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta)dy^\nu\\ &= A_\mu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dx^\nu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dy^\nu + \Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta}A_\alpha dx^\beta dy^\nu + \dfrac{\partial{\Gamma^\sigma_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}A_\sigma dx^\rho dy^\nu \end{aligned}

これと同様に,dy,dxdy, dxの順で平行移動すると(単にdx,dydx,dy を入れ替えれば済みます), Aμ+dAμ+d(Aμ(y+dy))=Aμ+ΓμναAσdyν+ΓμναAσdxν+ΓμνσΓσβαAαdyβdxν+ΓμνσxρAσdyρdxν \begin{split} A_\mu + dA_\mu + d(A_\mu(y+dy)) &= A_\mu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dy^\nu + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}A_\sigma dx^\nu \\ & + \Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta}A_\alpha dy^\beta dx^\nu + \dfrac{\partial{\Gamma^\sigma_{\mu\nu}}}{\partial{x^\rho}}A_\sigma dy^\rho dx^\nu \\ \end{split}

これら二つの異なる経路を通って平行移動させた時の差を計算すると, (ΓμνσΓσβαΓμβσΓσνα+ΓμναxβΓμβαxν)Aαdxβdyν=RμνβαAαdxβdyν\begin{aligned} \left(\Gamma^\sigma_{\mu\nu}\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} - \Gamma^\sigma_{\mu\beta}\Gamma^\alpha_{\sigma\nu} + \dfrac{\partial{\Gamma^\alpha_{\mu\nu}}}{\partial{x^\beta}} - \dfrac{\partial{\Gamma^\alpha_{\mu\beta}}}{\partial{x^\nu}}\right)A_\alpha dx^\beta dy^\nu = R^\alpha_{\mu\nu\beta}A_\alpha dx^\beta dy^\nu \end{aligned} となって,ここに曲率テンソルが出現します。曲がっていない平面上であれば,別の経路を通って平行移動しても,差は生まれないはずです。 これは曲率テンソルが 00 になることと合致する。また,曲がっている平面上だと,別の経路を通って平行移動すれば, 差が生まれることがあるでしょう。その差が曲率テンソルに依るのです。これらの直感的な議論と曲率の定義はよく一致することが確かめられます。

式の形から曲率テンソルは単位面積あたりの曲がり具合に関係することがわかります。dxβ,dyνdx^\beta, dy^\nu が微小であれば,ピンポイントで xx における曲がり具合を表すと言えるでしょう。

Ricciテンソル

Ricciテンソル RνσR_{\nu\sigma} を,曲率テンソル RνρσμR^\mu_{\nu\rho\sigma} の縮約を用いて, Rνσ:=Rνμσμ R_{\nu\sigma} := R^\mu_{\nu\mu\sigma} で定義します。曲率テンソルに対し, Rνρσμ=Rρνμσ R^\mu_{\nu\rho\sigma} = R^\sigma_{\rho\nu\mu} より, Rνρ=Rρν R_{\nu\rho} = R_{\rho\nu} の関係があります。

スカラー曲率

スカラー曲率 RR を,Ricciテンソルを用いて, R=gνρRνρ=Rρρ R = g^{\nu\rho}R_{\nu\rho} = R^\rho_\rho で定義します。

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