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一般相対性理論のその後〜宇宙論〜

更新日時 2021/03/28

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Einstein方程式をとくと,宇宙が膨張したり収縮したりすることがありうることがわかります。また,Hubbleは宇宙が膨張することを実験的に示唆しました。これらの簡単な宇宙論について解説を試みます。

これが,相対論最後の記事です。

目次
  • Friedmann方程式を解く

  • Hubbleによる「宇宙膨張」の発見

  • 宇宙項のその後のお話

  • おわりに

Friedmann方程式を解く

宇宙項の存在を知らなかったFriedmannは,宇宙項が入る前の重力場方程式,つまり Λ=0\Lambda = 0 のまま,Friedmann方程式をときました(Friedmann方程式については→宇宙項・宇宙定数の節「Friedmann方程式の導出」をみてください)。 以下にその方法を示します。式: 3A2A231A2a2+Λ=8πGρ0c2(1) -3 \dfrac{A'^2}{A^2} - 3 \dfrac{1}{A^2 a^2} + \Lambda = - \dfrac{8\pi G \rho_0}{c^2} \tag{1} A3A^3 をかけて, 3AA2+3a2A=8πGρ0c2A3 3AA'^2 + \dfrac{3}{a^2}A = \dfrac{8\pi G\rho_0}{c^2}A^3 tt で微分して, 3A3+6AAA+3a2A=24πGρ0c2A2A(2) 3A'^3 + 6AA'A'' + \dfrac{3}{a^2}A' = \dfrac{24\pi G\rho_0}{c^2}A^2 A' \quad\quad(2) 他方,式: 2AA+A2A2+1A2a2Λ=0 2 \dfrac{A''}{A} + \dfrac{A'^2}{A^2} + \dfrac{1}{A^2 a^2} - \Lambda = 0 3A2A3A^2 A' をかけて, 6AAA+3A3+3a2A=0(3) 6AA'A'' + 3A'^3 + \dfrac{3}{a^2}A' = 0 \tag{3} (2),(3)(2),(3) の差をとれば, 24πGρ0c2A2A=0dA3dt=0\begin{aligned} \dfrac{24\pi G\rho_0}{c^2}A^2 A' &= 0\\ \dfrac{dA^3}{dt} &= 0 \end{aligned} よって, A3=3c28πGρ0C  (=const.) A^3 = \dfrac{3c^2}{8\pi G\rho_0}C ~~ (= \mathrm{const.}) とおけます。これより, ρ0=3Cc28πGA3 \rho_0 = \dfrac{3Cc^2}{8\pi GA^3} を式 (1)(1) に代入すれば, A2A2=CA31A2a2 \dfrac{A'^2}{A^2} = \dfrac{C}{A^3} - \dfrac{1}{A^2a^2} したがって, A2=CA1a2dAdt=±CA1a2\begin{aligned} A'^2 &= \dfrac{C}{A} - \dfrac{1}{a^2}\\ \dfrac{dA}{dt} &= \pm \sqrt{\dfrac{C}{A} - \dfrac{1}{a^2}} \end{aligned} これより,AA の時間変化は一般に0ではなく,宇宙は膨張したり,収縮したりすることがありうるということになります。

Hubbleによる「宇宙膨張」の発見

FriedmannがFriedmann方程式についての論文を出した頃,Hubbleは継続的に遠方の星雲をみ続け,遠くにあるものほど,強い赤方偏移(赤方偏移では振動数が小さくなることを強くなるといいます)があることを発見しました。 つまり,光のDoppler効果の節で学んだように,遠い星ほど速く遠ざかっているということです。これは,宇宙が膨張していると考えることで説明がつきます。 つまり,Hubbleは,「どうやら宇宙は膨張しているらしい」という実験結果を得たのです。

Friedmannの理論的証拠と,Hubbleの実験的証拠により,Einsteinは「宇宙は静的であり,膨張も収縮もしない」という仮定を 諦めました。宇宙項を導入したことを生涯の「最大の過ち」として悔いた,とも言われています。このようなことから,宇宙項は,Einsteinの重力場方程式から長い間姿を消しました。

宇宙項のその後のお話

ここからは現代的な物理学のお話です。筆者もちゃんとは説明できないので,興味を持った方は是非,より深く物理学を学んでいただきたいと思います。

宇宙が膨張していることはわかりましたが,ではその膨張のしかたはどのようになっているのでしょうか? 結論からいうと,実は宇宙は「加速膨張」しているらしいということがわかってきました。 これは2000年ごろの超新星爆発の観測結果により計算されたものです。

しかし,宇宙が加速膨張をしているとなると,どんなエネルギーがそんなことをさせているのかが問題になってきます。何かわからないが,なんらかのエネルギーが宇宙を加速させているのです。 このことを調整するために, Einsteinの重力場方程式には再び宇宙項が加えられました。このエネルギーのことを天文学者はダークエネルギーなどとよぶようです。宇宙項は ダークエネルギーを説明するための項として,再び地位を与えられました。

ちなみに,現在の宇宙にあるエネルギーを,ダークエネルギーとその他のエネルギーに分けると,7:37:3 程度になるらしいです。宇宙にはまだまだ不思議なことが満ち溢れているようです。

おわりに

相対論の記事を読んでくれたみなさん,ここまで付き合ってくれてありがとうございました。私は数学の専門家でも物理の専門家でもないので,至らない点が多く,もしかしたら厳密さに欠ける議論だと感じる箇所もあったかもしれません。ただ,非物理学徒であり苦労して相対論を学んだ私だからこそ,より踏み込んで解説できたところもあると自負しています。この記事を読んで理論物理に興味を持ち,これから更なるステップをふまれる方が一人でも多く増えれば,これ以上幸いなことはありません。

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