宇宙項・宇宙定数

Einsteinの重力場方程式： $$R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R + \Lambda g^{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}$$ を考えます。ただし，$\Lambda g^{\mu\nu}$ はのちに「宇宙項」と呼ばれる項です。また，宇宙項の係数 $\Lambda$ は宇宙定数，宇宙係数と呼ばれます。私たちは今まで $\Lambda = 0$ で議論を進めてきました。 のちの計算のため，$\Lambda g^{\mu\nu}$ を含めて計算してしまうことにします。最後の結果で $\Lambda = 0$ とすれば，とりあえず数学的には今まで扱っていた方程式と全く違わないので，問題ないでしょう。

→曲率が等しい空間におけるRobertson-Walker計量におけるRobertson-Walker計量の式： $$ds^2 = -c^2 dt^2 + A(t)^2 \left[\dfrac{1}{1 - \dfrac{R^2}{a^2}} dR^2 + R^2 d \theta^2 + R^2 \sin^2 \theta d\phi^2 \right] \quad\quad(1)$$ より（混同を防ぐため，式 $(1)$ における $R$ を $\rho$ として記します）， $$g_{00} = -1, g_{11} = \dfrac{A(t)^2}{1-\dfrac{\rho^2}{a^2}}, g_{22} = A(t)^2 \rho^2, g_{33} = A(t)^2 \rho^2 \sin^2 \theta$$ また，これより， $$g^{00} = -1, g^{11} = \dfrac{1-\dfrac{\rho^2}{a^2}}{A(t)^2}, g^{22} = \dfrac{1}{A(t)^2 \rho^2}, g^{33} = \dfrac{1}{A(t)^2 \rho^2 \sin^2 \theta}$$ これを用いて，（途方もない）計算をすると， $$\begin{cases} R_{00} = -3 \dfrac{A''}{A}\\ R_{11} = \dfrac{1}{1-\dfrac{\rho^2}{a^2}} \left(AA'' + 2A'^2 + 2\dfrac{1}{a^2}\right)\\ R_{22} = \rho^2 \left(AA'' + 2A'^2 + 2\dfrac{1}{a^2}\right)\\ R_{33} = \rho^2 \sin^2 \theta \left(AA'' + 2A'^2 + 2\dfrac{1}{a^2}\right) \end{cases}$$ また，ここから，スカラー曲率は， $$R = 6\left(\dfrac{A''}{A} + \dfrac{A'^2}{A^2} + \dfrac{1}{A^2 a^2}\right)$$ と計算できます。さらに， $$R^{\mu}_{\nu} = g^{\lambda\mu}R_{\lambda\nu}$$ を用いて，$R^{\mu}_{\nu}$ を計算すれば， $$\begin{cases} R^0_0 = 3\dfrac{A''}{A}\\ R^1_1 = R^2_2 = R^3_3 = \dfrac{1}{A^2}\left(AA'' + 2A'^2 + 2\dfrac{1}{a^2}\right) \end{cases}$$ また，Einsteinの重力場方程式も，$g_{\mu\lambda}$ と縮合をとれば， $$R^\mu_\nu - \dfrac{1}{2}\delta^\mu_\nu R + \Lambda \delta^\mu_\nu = \dfrac{8\pi G}{c^4} T^\mu_\nu \tag{2}$$ となります。

空間設定として，3次元的に空間の物質は止まっている，つまり，速度 $v^i ~~ (i = 1,2,3)$ に対して， $$v^i = 0$$ の場合を考えます。このとき，$T^{\mu\nu}$ について， $$T^{00} = \rho_0 c^2$$ であり，それ以外の成分は0です。よって，$T^\mu_\nu$ については， $$T^0_0 = \rho_0 c^2$$ であり，それ以外の成分は0です。よって，式 $(2)$ において，$\mu = \nu = 0$ とすれば， $$-3 \dfrac{A'^2}{A^2} - 3 \dfrac{1}{A^2 a^2} + \Lambda = - \dfrac{8\pi G \rho_0}{c^2} \tag{3}$$ $\mu = \nu \neq 0$ とすれば， $$2 \dfrac{A''}{A} + \dfrac{A'^2}{A^2} + \dfrac{1}{A^2 a^2} - \Lambda = 0 \tag{4}$$ とくに，式 $(3)$ はFriedmann方程式と呼ばれています。

Einsteinは，「宇宙は静的であり，膨張も収縮もしない」と信じていました。そのためには，$A(t)$ は時間に依ってはならず， $$A'(t) = 0$$ が必要です。このとき，式 $(4)$ は， $$\dfrac{1}{A^2 a^2} = \Lambda \tag{5}$$ と表されます。もともとのEinsteinの重力場方程式では，宇宙係数 $\Lambda$ は0でしたので， $$\dfrac{1}{A^2 a^2} = 0$$ となってしまいます。 この式からわかるように，このままではEinsteinの重力場方程式に解はないことになってしまいます。これに気づいたEinsteinは， 宇宙項とよばれる補正項 $\Lambda g^{\mu\nu}$ を取り入れました。式 $(5)$ において宇宙係数が0でなければ， 「宇宙は静的であり，膨張も収縮もしない」という仮定を取り入れても理論が破綻しなくなります。

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