アインシュタインの重力場方程式

更新 2021/03/28

Einsteinの重力場方程式が導かれた経緯を紹介します。比例係数についてもその決め方を解説します。

世界を記述する重力の方程式を決める

Newtonの重力場方程式→一般相対論のための派生
∇2ϕ=4πGρ
       \nabla^2 \phi = 4\pi G\rho
∇2ϕ=4πGρ
は，空間中にある密度 ρ\rhoρ の質量が重力場 ϕ\phiϕ を生み出していると解釈することができます。あえて日本語で書けば
(なにかしらの方法で重力場を表す式)=(物質の配置，状態を表す式)
       \text{(なにかしらの方法で重力場を表す式)} = \text{(物質の配置，状態を表す式)}
(なにかしらの方法で重力場を表す式)=(物質の配置，状態を表す式)
となっています。一般相対論においてこれは何に相当するかを考えましょう。
まず，重力場についてですが，測地線方程式の節のときに何度か述べた通り，計量テンソルが重力に関わる重要な量でした。
さらに，Christoffelの記号は計量テンソルからできており，曲率テンソルやRicciテンソル，スカラー曲率はChristoffelの記号から
定義されます。これらのどれかが重力場を表す式として入ることが予想されます。この中で，Einsteinが原理として選んだのは，
Rμν−12gμνR
       R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R
Rμν−21​gμνR
という量でした。これをひっくるめて，
Gμν:=Rμν−12gμνR
       G^{\mu\nu} := R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R
Gμν:=Rμν−21​gμνR
としてEinsteinテンソルと呼ぶことがあります。ちなみに，Einsteinをもってしても，正しくこの左辺を選ぶのは相当苦労したと言われています。
物質の配置，状態を表すものは，エネルギー・運動量テンソルというものを定義したことを思い出してください。エネルギーや運動量など物質の情報が
これには多く含まれており，これを採用するのは自然だと言えるでしょう。
これらを用いて，Einsteinは，比例係数 κ\kappaκ を利用して，宇宙の方程式を
Gμν=κTμν
       G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu}
Gμν=κTμν
と表せると推論しました。

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Einsteinテンソルにまつわる公式

では，ここで，Einsteinテンソルにまつわる公式をいくつか紹介します。

$g_{\mu\nu} G^{\mu\nu} = -R$

proof

$\begin{aligned} g_{\mu\nu} G^{\mu\nu} &= g_{\mu\nu}\left(R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R\right)\\ &= R - \dfrac{1}{2}\delta^\mu_\mu R\\ &= R - \dfrac{1}{2}\cdot 4R = -R \end{aligned}$

$G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} \Longrightarrow R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)$

proof

仮定の式において， $g_{\mu\nu}$ と縮合をとれば， $-R = \kappa T$ これを，元の式： $R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R = \kappa T^{\mu\nu}$ に代入すれば， $R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)$

$G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} \Longleftarrow R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)$

proof

仮定の式において， $g_{\mu\nu}$ と縮合をとれば， $-R = \kappa T$ これを，同様に，元の式に代入し，同様に整理すればよい。

比例係数の値を決める

では，必要条件から，κ\kappaκ の値を決めます。
測地線方程式の節でやった近似と同様のことを考えます。この近似においては，
dxjdτ=dxjdt  (j=1,2,3)
       \dfrac{dx^j}{d\tau} = \dfrac{dx^j}{dt} ~~ (j = 1,2,3)
dτdxj​=dtdxj​  (j=1,2,3)
は ccc に比べ小さい量なので，無視して考えて良いです。つまり，TμνT^{\mu\nu}Tμν に対して，
T00=ρc2
       T^{00} = \rho c^2
T00=ρc2
以外はすべて 000 という成分を持つとして構いません。よって，
R00=κ(T00−12g00T)≈κ(ρc2−12(−1)(−ρc2))∴R00=κ2ρc2(1)\begin{aligned}
       R_{00} &= \kappa \left(T_{00} - \dfrac{1}{2}g_{00}T\right) \\
       &\approx \kappa \left(\rho c^2 - \dfrac{1}{2}(-1)(-\rho c^2)\right) \\
       \therefore R_{00} &= \dfrac{\kappa}{2}\rho c^2  \tag{1}
\end{aligned}R00​∴R00​​=κ(T00​−21​g00​T)≈κ(ρc2−21​(−1)(−ρc2))=2κ​ρc2​(1)
次に曲率テンソルについて考えていきます。次の式に現れる μ\muμ は縮約記法を用いているものではなく，単純に同じ添字であることを表します。定義より，
R0μ0μ=∂Γ00μ∂xμ−∂Γμ0μ∂x0+ΓμνμΓ00ν−Γ0νμΓμ0ν
       R^\mu_{0\mu 0}  = \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{00}}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{\mu 0}}}{\partial{x^0}} + \Gamma^\mu_{\mu\nu}\Gamma^\nu_{00} - \Gamma^\mu_{0 \nu}\Gamma^\nu_{\mu 0}
R0μ0μ​=∂xμ∂Γ00μ​​−∂x0∂Γμ0μ​​+Γμνμ​Γ00ν​−Γ0νμ​Γμ0ν​
ここで，
{Γ00i=−12∂h00∂xi  (i=1,2,3)Γ000=0
       \begin{cases}
              \Gamma^i_{00} = -\dfrac{1}{2} \dfrac{\partial{h_{00}}}{\partial{x^i}} ~~ (i = 1,2,3)\\
              \Gamma^0_{00} = 0
       \end{cases}
⎩⎨⎧​Γ00i​=−21​∂xi∂h00​​  (i=1,2,3)Γ000​=0​
より，R0000=0R^0_{000} = 0R0000​=0。また，R0μ0μ  (μ=1,2,3)R^\mu_{0\mu 0} ~~ (\mu = 1,2,3)R0μ0μ​  (μ=1,2,3) を考えます。第二項は x0x^0x0 で微分していますが，この近似では定常な重力場を考えているから，0となるはずです。
さらに，第三項，第四項は，微小項である gμνg_{\mu\nu}gμν​ の2階微分の2次式であるから，0と見做して構いません。よって，
R0μ0μ=∂Γ00μ∂xμ=−12∂2h00∂xμ∂xμ  (μ=1,2,3)
       R^\mu_{0\mu 0} = \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{00}}}{\partial{x^\mu}} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^\mu \partial x^\mu} ~~ (\mu = 1,2,3)
R0μ0μ​=∂xμ∂Γ00μ​​=−21​∂xμ∂xμ∂2h00​​  (μ=1,2,3)
これらにより，R00R_{00}R00​ は次のようになります。ただし，次の変数からは通常通り縮約記法を用いていることに注意してください。また，最後の変形では，→測地線方程式における式：
h00=−2ϕc2
h_{00} = -\dfrac{2\phi}{c^2}
h00​=−c22ϕ​を用います。
R00=R0ν0ν=−12∂2h00∂x1∂x1−12∂2h00∂x2∂x2−12∂2h00∂x3∂x3∴R00=−12∇2h00=−12∇2(−2ϕc2)=1c2∇2ϕ(2)\begin{aligned}
       R_{00} &= R^\nu_{0\nu 0} \\
       &= -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^1 \partial x^1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^2 \partial x^2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^3 \partial x^3} \\
       \therefore R_{00} &= -\dfrac{1}{2}\nabla^2 h_{00} = -\dfrac{1}{2}\nabla^2 \left(-\dfrac{2\phi}{c^2}\right) = \dfrac{1}{c^2} \nabla^2 \phi \tag{2}
\end{aligned}R00​∴R00​​=R0ν0ν​=−21​∂x1∂x1∂2h00​​−21​∂x2∂x2∂2h00​​−21​∂x3∂x3∂2h00​​=−21​∇2h00​=−21​∇2(−c22ϕ​)=c21​∇2ϕ​(2)
式 (1),(2)(1),(2)(1),(2) により，
1c2∇2ϕ=κ2ρc2∇2ϕ=κρc42\begin{aligned}
       \dfrac{1}{c^2} \nabla^2 \phi &= \dfrac{\kappa}{2}\rho c^2\\
       \nabla^2 \phi &= \dfrac{\kappa \rho c^4}{2}
\end{aligned}c21​∇2ϕ∇2ϕ​=2κ​ρc2=2κρc4​​
Newtonの重力場方程式と比較すれば，
κ=8πGc4
       \kappa = \dfrac{8\pi G}{c^4}
κ=c48πG​
これにより，Einsteinの重力場方程式は
Rμν−12gμνR=8πGc4Tμν
       R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R = \dfrac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu}
Rμν−21​gμνR=c48πG​Tμν
でまとめられます（テンソルが (0,2)テンソルか，(2,0)テンソルかに本質的な違いはないことに注意してください）。
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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。