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アインシュタインの重力場方程式

更新日時 2021/03/28

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Einsteinの重力場方程式が導かれた経緯を紹介します。比例係数についてもその決め方を解説します。

目次
  • 世界を記述する重力の方程式を決める

  • Einsteinテンソルにまつわる公式

  • 比例係数の値を決める

世界を記述する重力の方程式を決める

Newtonの重力場方程式→一般相対論のための派生 2ϕ=4πGρ \nabla^2 \phi = 4\pi G\rho は,空間中にある密度 ρ\rho の質量が重力場 ϕ\phi を生み出していると解釈することができます。あえて日本語で書けば (なにかしらの方法で重力場を表す式)=(物質の配置,状態を表す式) \text{(なにかしらの方法で重力場を表す式)} = \text{(物質の配置,状態を表す式)} となっています。一般相対論においてこれは何に相当するかを考えましょう。

まず,重力場についてですが,測地線方程式の節のときに何度か述べた通り,計量テンソルが重力に関わる重要な量でした。 さらに,Christoffelの記号は計量テンソルからできており,曲率テンソルやRicciテンソル,スカラー曲率はChristoffelの記号から 定義されます。これらのどれかが重力場を表す式として入ることが予想されます。この中で,Einsteinが原理として選んだのは, Rμν12gμνR R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R という量でした。これをひっくるめて, Gμν:=Rμν12gμνR G^{\mu\nu} := R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R としてEinsteinテンソルと呼ぶことがあります。ちなみに,Einsteinをもってしても,正しくこの左辺を選ぶのは相当苦労したと言われています。

物質の配置,状態を表すものは,エネルギー・運動量テンソルというものを定義したことを思い出してください。エネルギーや運動量など物質の情報が これには多く含まれており,これを採用するのは自然だと言えるでしょう。

これらを用いて,Einsteinは,比例係数 κ\kappa を利用して,宇宙の方程式を Gμν=κTμν G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} と表せると推論しました。

Einsteinテンソルにまつわる公式

では,ここで,Einsteinテンソルにまつわる公式をいくつか紹介します。

gμνGμν=R g_{\mu\nu} G^{\mu\nu} = -R

proof

gμνGμν=gμν(Rμν12gμνR)=R12δμμR=R124R=R\begin{aligned} g_{\mu\nu} G^{\mu\nu} &= g_{\mu\nu}\left(R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R\right)\\ &= R - \dfrac{1}{2}\delta^\mu_\mu R\\ &= R - \dfrac{1}{2}\cdot 4R = -R \end{aligned}

Gμν=κTμνRμν=κ(Tμν12gμνT) G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} \Longrightarrow R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)

proof

仮定の式において,gμνg_{\mu\nu} と縮合をとれば, R=κT -R = \kappa T これを,元の式: Rμν12gμνR=κTμν R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R = \kappa T^{\mu\nu} に代入すれば, Rμν=κ(Tμν12gμνT) R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)

Gμν=κTμνRμν=κ(Tμν12gμνT) G^{\mu\nu} = \kappa T^{\mu\nu} \Longleftarrow R^{\mu\nu} = \kappa \left(T^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}T\right)

proof

仮定の式において,gμνg_{\mu\nu} と縮合をとれば, R=κT -R = \kappa T これを,同様に,元の式に代入し,同様に整理すればよい。

比例係数の値を決める

では,必要条件から,κ\kappa の値を決めます。

測地線方程式の節でやった近似と同様のことを考えます。この近似においては, dxjdτ=dxjdt  (j=1,2,3) \dfrac{dx^j}{d\tau} = \dfrac{dx^j}{dt} ~~ (j = 1,2,3) cc に比べ小さい量なので,無視して考えて良いです。つまり,TμνT^{\mu\nu} に対して, T00=ρc2 T^{00} = \rho c^2 以外はすべて 00 という成分を持つとして構いません。よって, R00=κ(T0012g00T)κ(ρc212(1)(ρc2))R00=κ2ρc2(1)\begin{aligned} R_{00} &= \kappa \left(T_{00} - \dfrac{1}{2}g_{00}T\right) \\ &\approx \kappa \left(\rho c^2 - \dfrac{1}{2}(-1)(-\rho c^2)\right) \\ \therefore R_{00} &= \dfrac{\kappa}{2}\rho c^2 \tag{1} \end{aligned}

次に曲率テンソルについて考えていきます。次の式に現れる μ\mu は縮約記法を用いているものではなく,単純に同じ添字であることを表します。定義より, R0μ0μ=Γ00μxμΓμ0μx0+ΓμνμΓ00νΓ0νμΓμ0ν R^\mu_{0\mu 0} = \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{00}}}{\partial{x^\mu}} - \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{\mu 0}}}{\partial{x^0}} + \Gamma^\mu_{\mu\nu}\Gamma^\nu_{00} - \Gamma^\mu_{0 \nu}\Gamma^\nu_{\mu 0} ここで, {Γ00i=12h00xi  (i=1,2,3)Γ000=0 \begin{cases} \Gamma^i_{00} = -\dfrac{1}{2} \dfrac{\partial{h_{00}}}{\partial{x^i}} ~~ (i = 1,2,3)\\ \Gamma^0_{00} = 0 \end{cases} より,R0000=0R^0_{000} = 0。また,R0μ0μ  (μ=1,2,3)R^\mu_{0\mu 0} ~~ (\mu = 1,2,3) を考えます。第二項は x0x^0 で微分していますが,この近似では定常な重力場を考えているから,0となるはずです。 さらに,第三項,第四項は,微小項である gμνg_{\mu\nu} の2階微分の2次式であるから,0と見做して構いません。よって, R0μ0μ=Γ00μxμ=122h00xμxμ  (μ=1,2,3) R^\mu_{0\mu 0} = \dfrac{\partial{\Gamma^\mu_{00}}}{\partial{x^\mu}} = -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^\mu \partial x^\mu} ~~ (\mu = 1,2,3)

これらにより,R00R_{00} は次のようになります。ただし,次の変数からは通常通り縮約記法を用いていることに注意してください。また,最後の変形では,→測地線方程式における式: h00=2ϕc2 h_{00} = -\dfrac{2\phi}{c^2} を用います。 R00=R0ν0ν=122h00x1x1122h00x2x2122h00x3x3R00=122h00=122(2ϕc2)=1c22ϕ(2)\begin{aligned} R_{00} &= R^\nu_{0\nu 0} \\ &= -\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^1 \partial x^1}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^2 \partial x^2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial^2 h_{00}}{\partial x^3 \partial x^3} \\ \therefore R_{00} &= -\dfrac{1}{2}\nabla^2 h_{00} = -\dfrac{1}{2}\nabla^2 \left(-\dfrac{2\phi}{c^2}\right) = \dfrac{1}{c^2} \nabla^2 \phi \tag{2} \end{aligned}(1),(2)(1),(2) により, 1c22ϕ=κ2ρc22ϕ=κρc42\begin{aligned} \dfrac{1}{c^2} \nabla^2 \phi &= \dfrac{\kappa}{2}\rho c^2\\ \nabla^2 \phi &= \dfrac{\kappa \rho c^4}{2} \end{aligned} Newtonの重力場方程式と比較すれば, κ=8πGc4 \kappa = \dfrac{8\pi G}{c^4}

これにより,Einsteinの重力場方程式は Rμν12gμνR=8πGc4Tμν R^{\mu\nu} - \dfrac{1}{2}g^{\mu\nu}R = \dfrac{8\pi G}{c^4} T^{\mu\nu} でまとめられます(テンソルが (0,2)テンソルか,(2,0)テンソルかに本質的な違いはないことに注意してください)。

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