シュワルツシルト解

Schwarzschild解は，原点に1つの質点が置かれた場合の重力場方程式の解です。原点以外では真空と仮定します。このとき， Einsteinの重力場方程式は $$G_{\mu\nu} = 0$$ となります。

ここで，$g_{\mu\nu} G^{\mu\nu} = -R$ より，$G_{\mu\nu} = 0$ であれば $R = 0$。これにより， $$G_{\mu\nu} = 0 \iff R_{\mu\nu} = 0$$ となります。Einsteinの重力場方程式の解とは，$R_{\mu\nu} = 0$ を満たす計量テンソル $g_{\mu\nu}$ を見つけるということに他なりません。

Schwarzschildは，解を導出する際に以下のような条件を仮定しました。

• 3次元において，原点に対して対称
• 重力は時間とは無関係
• 無限遠点では，計量テンソルはMinkowski計量に一致する

幸い宇宙にある巨大な天体は球形に凝集傾向があり，このような仮定をおいても 現実への応用がわりとできることが知られています。

では，実際に解を求めてみましょう。3次元空間において，原点対称であるから，極座標表示を用いて考えることにします。線素の表現を得ることを試みましょう。 $ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$ に $dt,dr,d\theta, d\phi$ で表されたものを代入していくので， 極座標表示した線素はこれらの $2$ 次式のみを含みます。

ここで，$drd\theta, d\theta d\phi, d\phi dr$ を含む項に関しては消えることがすぐわかります。なぜなら，$\theta \to - \theta$ としたとき $drd\theta \to -drd\theta$ であり，対称性からこの変化に対して線素の変化があってはならないので， $$drd\theta - (- drd\theta) = 0$$ $$\therefore drd\theta = 0$$ となるからです。その他もこれと同様です。さらに，$dtd\theta, dtd\phi, dtdr$ ついても，時間に重力は無関係なことから， $t$ を変化させて同様の議論をすれば これらを含む項に関しては消えることがわかります。

よって， $$ds^2 = -Uc^2 dt^2 + Vdr^2 + Wr^2 d\theta^2 + Xr^2 \sin^2 \theta d\phi^2$$ という形で線素を表せるはずです。球対称であることから，$U,V,W,X$ は $r$ のみの関数です。

ここで，$W \neq X$ であるとすると，$\theta$ と $\phi$ の回転により線素が異なることになってしまうのでおかしいです。よって， $$ds^2 = -Uc^2 dt^2 + Vdr^2 + Wr^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$ となります。

いままで，$r$ の取り決めの制約はなかったので，簡単のため $Wr^2 = r^2$ つまり $W = 1$ となるような $r$ を 基準として系をとりなおすことにします。$r$ の尺度を変えただけであり，たんなる計算の簡略化のためです。

よって， $$ds^2 = -Uc^2 dt^2 + Vdr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$ で線素を表すことができます。これを $$ds^2 = -e^{2\nu} c^2 dt^2 + e^{2\lambda}dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$ と表しても一般性を失わないのでこうおくことにします。

ここで，条件の3つめにより，$r \to \infty$ において，線素はMinkowski空間におけるものと同じになる必要があるので， $$e^{2\nu}, e^{2\lambda} \to 1$$ となる必要があることを注意しておきましょう。

ここから，$g_\mu\nu$ について， $$g_{00} = -e^{2\nu}, g_{11} = e^{2\lambda}, g_{22} = r^2, g_{33} = r^2 \sin^2 \theta$$ であり，これ以外は0を成分に持ちます。また，これより，$g^{\mu\nu}$ について， $$g^{00} = -e^{-2\nu}, g^{11} = e^{-2\lambda}, g^{22} = r^{-2}, g^{33} = r^{-2} \sin^{-2} \theta$$

Ricciテンソルを計算します。 $$\begin{aligned} \Gamma^\mu_{\nu\sigma} &= g^{\mu\lambda}\Gamma_{\lambda \nu \sigma}\\ &= \dfrac{1}{2}g^{\mu\lambda} \left(\dfrac{\partial{g_{\lambda\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + \dfrac{\partial{g_{\lambda\sigma}}}{\partial{x^\nu}} - \dfrac{\partial{g_{\nu\sigma}}}{\partial{x^\lambda}}\right) \end{aligned}$$ を利用します。$r$ による偏微分を，プライムをつけて表すことにすれば， $$\begin{aligned} \Gamma^1_{00} &= g^{1\lambda}\Gamma_{\lambda 00}\\ &= g^{11}\Gamma_{1 00}\\ &= \dfrac{1}{2}g^{11} \left(\dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{x^0}} + \dfrac{\partial{g_{10}}}{\partial{x^0}} - \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{x^1}}\right)\\ &= \nu' \cdot e^{2\nu - 2\lambda} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \Gamma^1_{11} &= g^{11}\Gamma_{111}\\ &= \dfrac{1}{2}g^{11}\left(\dfrac{\partial{g_{11}}}{\partial{x^1}}\right)\\ &= \lambda' \end{aligned}$$ などと計算していくと， $$\begin{aligned} \Gamma^{1}_{00} &= \nu' e^{2\nu - 2\lambda}\\ \Gamma^{1}_{11} &= \lambda'\\ \Gamma^{1}_{22} &= -r e^{-2\lambda}\\ \Gamma^{1}_{33} &= -r e^{-2\lambda} \sin^2 \theta\\ \Gamma^{0}_{10} &= \nu'\\ \Gamma^{2}_{12} &= \Gamma^{3}_{13} = r^{-1}\\ \Gamma^{3}_{23} &= \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}\\ \Gamma^{2}_{33} &= -\sin \theta \cos \theta \end{aligned}$$ これら以外の成分は0です。ただし，Christoffelの記号の下2つの添字については対称であることに留意してください。つまり， $$\Gamma^0_{10} = \Gamma^0_{01}$$ 等が成立します。

さらにこれらを用いて，Ricciテンソル を計算すれば， $$\begin{aligned} R_{00} &= \left(\nu'' - \lambda' \nu' + \nu'^2 + \dfrac{2\nu'}{r}\right) e^{2\nu - 2\lambda}\\ R_{11} &= -\nu'' + \lambda' \nu' - \nu'^2 + \dfrac{2\nu'}{r}\\ R_{22} &= (-1 - r\nu' + r\lambda') e^{-2\lambda} + 1\\ R_{33} &= R_{22} \sin^2 \theta \end{aligned}$$ となります。これら以外の成分は0です。

さて，Einsteinの重力場方程式により，$R_{\mu\nu} = 0$ が要求されます。 $$\begin{cases} R_{00} = 0\\ R_{11} = 0\\ \end{cases}$$ $$\Longrightarrow \begin{cases} \nu'' - \lambda' \nu' + \nu'^2 + \dfrac{2\nu'}{r} = 0\\ -\nu'' + \lambda' \nu' - \nu'^2 + \dfrac{2\nu'}{r} = 0 \end{cases}$$ $$\Longrightarrow \lambda' + \nu' = 0$$ $$\Longrightarrow (\lambda + \nu)' = 0 \tag{1}$$ これより，$\lambda + \nu$ は定数です。ここで，式： $$e^{2\nu}, e^{2\lambda} \to 1$$ より，$r \to \infty$ では，$\lambda, \nu \to 0$。 よって， $$\lambda + \nu = 0 \tag{2}$$ さらに， $$R_{22} = 0$$ より， $$(-1 - r\nu' + r\lambda')e^{-2\lambda} + 1 = 0$$ ここで，式 $(1),(2)$ より， $$\begin{aligned} (1 + 2r\nu') e^{2\nu} &= 1\\ (re^{2\nu})' &= 1\\ re^{2\nu} &= r -2m \tag{3} \end{aligned}$$ ここで，$-2m$ は積分定数です。ここまでをまとめると， $$R_{\mu\nu} = 0 \iff \begin{cases} R_{00} = 0\\ R_{11} = 0\\ R_{22} = 0\\ R_{33} = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} re^{2\nu} = r -2m\\ \lambda + \nu = 0 \end{cases}$$ ちなみに，逆に最右辺を仮定しても，$R_{\mu\nu} = 0$ を示すことができます。つまり，これらは全て同値であることを証明できます。

これらの式より，計量テンソルを求められます。式 $(3)$ により， $$g_{00} = -e^{2\nu} = -\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)$$ また， $$g_{11} = e^{2\lambda} = e^{-2\nu} = \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1}$$ これらにより，Schwarzschild解： $$ds^2 = -\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$ を得ます。

測地線方程式の節では，ある条件のもと， $$g_{00} = -1 - \dfrac{2\phi}{c^2}$$ が成立することを導きました（当然ですが，ここでの$\phi$ は $d\phi$ の $\phi$ とは異なります）。今考えている重力場が，定常な弱重力場であることすると，この式は成立します。このもとで， $$\begin{aligned} -1 - \dfrac{2\phi}{c^2} &= -\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)\\ \therefore m = - \dfrac{r\phi}{c^2} \end{aligned}$$ ここで，原点に質量 $M$ があるとき， $$\phi = -\dfrac{GM}{r}$$ より， $$m = \dfrac{GM}{c^2}$$ これを代入すれば，Schwarzschild解の別の形を導けます： $$ds^2 = -\left(1 - \dfrac{2GM}{c^2r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \dfrac{2GM}{c^2r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$

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