ブラックホール

更新日時 2021/03/28

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「ブラックホール」とは何であるか,さらになぜ「ブラック」と呼ばれるのかについて数式を用いて丁寧に解説します。

目次
  • ブラックホール

  • 光はブラックホールを脱出できない

ブラックホール

この節では,ある対象となる物体の4元速度を vμv^\mu と書くことにします。このとき,測地線方程式→測地線方程式dvμdτ+Γμσνvμvσ=0 \dfrac{dv^\mu}{d\tau} + \Gamma^\nu_{\mu\sigma}v^\mu v^\sigma = 0 が成立します。Schwarzschild解をもとめたときと同じ状況を考えましょう。最初は r>2m,  θ=ϕ=0 r > 2m, ~~ \theta = \phi = 0 の位置に, v2=v3=0 v^2 = v^3 = 0 で置かれるとします。また,原点に向かって落下する方向,つまり v>0v' > 0 の方向に落下しているとします。 この物体の運動は,xx 軸上のみに限定されます。測地線方程式より, dv0dτ=Γμσ0vμvσ=g00Γ0μσvμvσ=g00(Γ001v0v1+Γ010v1v0)=2g00Γ001v0v1\begin{aligned} \dfrac{dv^0}{d\tau} &= -\Gamma^0_{\mu\sigma}v^\mu v^{\sigma} = -g^{00}\Gamma_{0\mu\sigma}v^\mu v^\sigma\\ &= -g^{00} (\Gamma_{001}v^0 v^1 + \Gamma_{010}v^1 v^0)\\ &= -2 g^{00} \Gamma_{001} v^0 v^1 \end{aligned} ただし,2行目の変形には, {v2=v3=0Γ000=Γ011=0 \begin{cases} v^2 = v^3 = 0\\ \Gamma_{000} = \Gamma_{011} = 0 \end{cases} を用いています。ここで, Γ001=12(g00x1+g01x0g01x0)=12g00x1 \Gamma_{001} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{x^1}} + \dfrac{\partial{g_{01}}}{\partial{x^0}} - \dfrac{\partial{g_{01}}}{\partial{x^0}}\right) = \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{x^1}} より, 2Γ001v1=212g00x1dx1dτ=dg00dτ 2\Gamma_{001} v^1 = 2\cdot \dfrac{1}{2} \dfrac{\partial{g_{00}}}{\partial{x^1}}\dfrac{dx^1}{d\tau} = \dfrac{dg_{00}}{d\tau} よって, dv0dτ=g00dg00dτv0 \dfrac{dv^0}{d\tau} = -g^{00} \dfrac{dg_{00}}{d\tau} v^0 g00dv0dτ+g00g00dg00dτv0=0 g_{00}\dfrac{dv^0}{d\tau} + g_{00}g^{00} \dfrac{dg_{00}}{d\tau} v^0 = 0 ddτ(g00v0)=0 \dfrac{d}{d\tau} (g_{00}v^0) = 0 g00v0=k (=const.) \therefore g_{00}v^0 = k ~ ( = \mathrm{const.}) となります。ここでSchwarzschild解より,dθ=dϕ=0d\theta = d\phi = 0 に注意すれば, ds2=g00dx0dx0+g11dx1dx11=g00dx0dsdx0ds+g11dx1dsdx1ds=g00v0v0+g11v1v1\begin{aligned} ds^2 &= g_{00}dx^0 dx^0 + g_{11}dx^1 dx^1\\ \therefore 1 &= g_{00}\dfrac{dx^0}{ds}\dfrac{dx^0}{ds} + g_{11}\dfrac{dx^1}{ds}\dfrac{dx^1}{ds}\\ &= g_{00}v^0v^0 + g_{11}v^1v^1 \end{aligned} これに g00g_{00} をかけて (g00v0)2+g00g11v1v1=g00 (g_{00} v^0)^2 + g_{00}g_{11}v^1v^1 = g_{00} 前節の議論より, g00g11=e2(ν+λ)=e0=1 g_{00}g_{11} = -e^{2(\nu + \lambda)} = -e^0 = -1 これを代入して, k2(v1)2=g00=12mr k^2 - (v^1)^2 = g_{00} = 1 - \dfrac{2m}{r} v<0v' < 0 より, v1=(k21+2mr)12(1) v^1 = -\left(k^2 -1 + \dfrac{2m}{r}\right)^{\frac{1}{2}} \tag{1} 他方,g00v0=kg_{00}v^0 = k より, v0=kg00=k(12mr)1(2) v^0 = \dfrac{k}{g_{00}} = k\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1}\tag{2} よって,式 (1),(2)(1),(2) より, dx0dx1=k(12mr)1(k21+2mr)12dtdr=dtdx=kc(12mr)1(k21+2mr)12\begin{aligned} \dfrac{dx^0}{dx^1} = -k \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1} \left(k^2 -1 + \dfrac{2m}{r}\right)^{-\frac{1}{2}}\\ \therefore \dfrac{dt}{dr} = \dfrac{dt}{dx} = -\dfrac{k}{c}\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1} \left(k^2 -1 + \dfrac{2m}{r}\right)^{-\frac{1}{2}} \end{aligned} さて,物体が特異点に近づいたとすると,ε>0\varepsilon > 0 を用いて, r=2m+ε   (ε1) r = 2m + \varepsilon ~~~ (|\varepsilon| \ll 1) とおけます。 12mr=εr 1 - \dfrac{2m}{r} = \dfrac{\varepsilon}{r} より, dtdr=kcrε(k2εr)12=kcrε1k(1εrk2)12rεcrε(1ε2rk2)12=(rεc+12k2c)=rεc=2mc(r2m)t=2mclog(r2m)+C\begin{aligned} \dfrac{dt}{dr} &= -\dfrac{k}{c}\cdot \dfrac{r}{\varepsilon} \left(k^2 -\dfrac{\varepsilon}{r}\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &= -\dfrac{k}{c}\cdot \dfrac{r}{\varepsilon}\cdot \dfrac{1}{k} \left(1 -\dfrac{\varepsilon}{rk^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &\approx -\dfrac{r}{\varepsilon c}\cdot \dfrac{r}{\varepsilon} \left(1 -\dfrac{\varepsilon}{2rk^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\\ &= -\left(\dfrac{r}{\varepsilon c} + \dfrac{1}{2k^2 c}\right)\\ &= -\dfrac{r}{\varepsilon c}\\ &= - \dfrac{2m}{c(r-2m)}\\ \therefore t &= -\dfrac{2m}{c} \log (r-2m) + C \end{aligned} ここで,CC は積分定数です。これより,r2m+0r \to 2m + 0 では,t+t \to + \infty となるので,物体が r=2mr = 2m に到達するまでには無限の時間がかかることになります。

もちろん,物体とともに運動する人にしてみれば, dτdr=1v1=(k21+2mr)12 \dfrac{d\tau}{dr} = \dfrac{1}{v^1} = -\left(k^2 - 1 + \dfrac{2m}{r}\right)^{-\dfrac{1}{2}} より,r2m+0r \to 2m + 0 としても k1-k^{-1} になるだけであり,この人は有限時間のうちに r2mr \to 2m に達することができて,さらに落下を続けることになります。

r=2mr = 2m の表面および内部をブラックホールと呼びます。

光はブラックホールを脱出できない

実は,ブラックホール内部の光は r=2mr = 2m をこえて脱出することができません。つまり,ブラックホールの内部空の光を「直接見る」ことはできないのです。この意味で「ブラック」 と呼ばれています。以下で,なぜブラックホールの内部の光が,r=2mr = 2m を越えられないかを考えます。

光は相対論において一定の速度 cc で移動します。つまり, cdt=dx2+dy2+dz2 c dt = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2} これより,光は常に ds2=0 ds^2 = 0 をたどります。これを「光はゼロ測地線をたどる」と表現することがあります。これより, (12mr)c2dt2+(12mr)1dr2+r2(dθ2+sin2θdϕ2)=0 -\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2) = 0 dθ=dϕ=0d\theta = d\phi = 0 より, dr2=(12mr)2c2dt2drdt=±c(12mr)\begin{aligned} dr^2 = \left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)^2 c^2 dt^2\\ \therefore \dfrac{dr}{dt} = \pm c\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right) \end{aligned} 今,ブラックホール内部,つまり, r<2m  (    12mr<0) r < 2m ~~ (\iff 1 - \dfrac{2m}{r} < 0) を考えており, drdt>0 \dfrac{dr}{dt} > 0 のとき脱出できるかを考えているので, drdt=c(12mr)(1+2mr2m)dr=cdtr=2mlogr2m=ct+C\begin{aligned} \dfrac{dr}{dt} = - c\left(1 - \dfrac{2m}{r}\right)\\ \left(1 + \dfrac{2m}{r-2m}\right)dr = -cdt\\ \therefore r = 2m \log \left|r-2m\right| = -ct + C \end{aligned} ここで CC は積分定数です。t=0t = 0 における光の位置を r=r0r = r_0 とすると, ct=r+2mlogr2mr02mlogr02m=rr0+2mlogr2mr02m\begin{aligned} -ct &= r + 2m\log \left|r-2m\right| -r_0 -2m \log \left|r_0-2m\right|\\ &= r - r_0 + 2m \log \left|\dfrac{r-2m}{r_0 -2m}\right| \end{aligned}

ブラックホール内部における光の位置と時間の関係

この式をプロットすると,上図のようになります。 r=2mr = 2m が漸近線であり,tt \to \infty としても,光は r>2mr > 2m の領域に達することはできません。

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