クリストッフェルの記号と平行移動の関係

更新 2021/03/28

Christoffelの記号を使って，反変ベクトル，共変ベクトルの平行移動を表します。また，平行移動によってベクトルの大きさは変わらないことを証明します。

平行移動の表現

Christoffelの記号を使うと，平行移動を簡潔に表現できます。 $\begin{aligned} dA_\nu &= A^\mu \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma \\ &= A^\mu \Gamma_{\mu\nu\sigma} dx^\sigma \\ &= A_\mu \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma} dx^\sigma \end{aligned}$ とできて， $K_\nu(x+dx) = A_\nu + dA_\nu$ と書くことができます。これにより，ベクトルの平行移動は $N$ 次元の世界を知らなくても計算できるようになりました。

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平行移動によってベクトルの大きさは変わらない

反変ベクトルの大きさ $g_{\mu\nu}A^\mu A^\nu$ に関し， $g_{\mu\nu}A^\mu A^\nu = A_\nu A^\nu = g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$ が成立します。このベクトルの大きさは $x \to x+dx$ の平行移動において，変化しないことを以下に示します。

平行移動における変化分 $d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu)$ は， $\begin{aligned} d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu) &= g^{\mu\nu}A_\mu dA_\nu + g^{\mu\nu}dA_\mu A_\nu + dg^{\mu\nu} A_\mu A_\nu\\ &= A^\nu dA_\nu + A^\mu dA_\mu + A_\mu A_\nu \cdot \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= A^\nu A^\mu \Gamma_{\mu\nu\sigma}dx^\sigma + A^\mu A^\nu \Gamma_{\nu\mu\sigma}dx^\sigma + A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= A^\nu A^\mu dx^\sigma (\Gamma_{\mu\nu\sigma} + \Gamma_{\nu\mu\sigma}) + A_\nu A_\mu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= (A^\nu A^\mu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}) dx^\sigma \end{aligned}$ さて， $\dfrac{\partial{(g^{\alpha\mu} g_{\mu\nu})}}{\partial{x^\sigma}} = \dfrac{\partial{g^{\alpha\mu}}}{\partial{x^\sigma}} g_{\mu\nu} + g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} = \dfrac{\partial{\delta^\alpha_\nu}}{\partial{x^\sigma}} = 0$ において， $g^{\beta\nu}$ をかければ $\begin{aligned} g^{\beta\nu}g_{\mu\nu}\dfrac{\partial{g^{\alpha\mu}}}{\partial{x^\sigma}} + g^{\beta\nu}g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0\\ \therefore \dfrac{\partial{g^{\alpha\beta}}}{\partial{x^\sigma}} + g^{\beta\nu}g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0 \end{aligned}$ この両辺に $A_\alpha A_\beta$ をかけて， $\begin{aligned} A_\alpha A_\beta \dfrac{\partial{g^{\alpha\beta}}}{\partial{x^\sigma}} + A^\mu A^\nu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0\\ A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + A^\mu A^\nu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0 \end{aligned}$ が成立するから， $d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu) = 0 \tag{1}$

反変ベクトルの平行移動

式 $(1)$ の式より， $\begin{aligned} d(A_\nu A^\nu) &= 0\\ \therefore A^\nu dA_\nu + A_\nu dA^\nu &= 0\\ \therefore A_\nu dA^\nu &= - A^\nu dA_\nu\\ &= - A^\nu \Gamma^\mu_{\nu\sigma} A_\mu dx^\sigma\\ &= - A^\mu \Gamma^\nu_{\mu\sigma} A_\nu dx^\sigma \end{aligned}$ $A_\nu$ は任意ですから， $dA^\nu = - A^\mu \Gamma^\nu_{\mu\sigma} dx^\sigma$ これは，反変ベクトルの平行移動の公式です。

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この記事の監修者

でーちー

公立地方進学校出身。高校時代は部活動に勤しみ，合間を縫って勉強を進めた。受験生時代には毎日12時間以上の勉強を続け，東京大学理科一類に現役合格。大学でも数学・物理を得意とし，情報系の学科に進みつつも，独学で勉強を続けている。学びTimesでは主に「高校数学の美しい物語」「高校生から味わう理論物理入門」の記事執筆・修正業務に尽力している。