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クリストッフェルの記号と平行移動の関係

更新日時 2021/03/28

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Christoffelの記号を使って,反変ベクトル,共変ベクトルの平行移動を表します。また,平行移動によってベクトルの大きさは変わらないことを証明します。

目次
  • 平行移動の表現

  • 平行移動によってベクトルの大きさは変わらない

  • 反変ベクトルの平行移動

平行移動の表現

Christoffelの記号を使うと,平行移動を簡潔に表現できます。 dAν=Aμynxμ2ynxσxνdxσ=AμΓμνσdxσ=AμΓνσμdxσ\begin{aligned} dA_\nu &= A^\mu \dfrac{\partial{y^n}}{\partial{x^\mu}}\dfrac{\partial^2 y_n}{\partial x^\sigma \partial x^\nu}dx^\sigma \\ &= A^\mu \Gamma_{\mu\nu\sigma} dx^\sigma \\ &= A_\mu \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma} dx^\sigma \end{aligned} とできて, Kν(x+dx)=Aν+dAν K_\nu(x+dx) = A_\nu + dA_\nu と書くことができます。これにより,ベクトルの平行移動はNN次元の世界を知らなくても計算できるようになりました。

平行移動によってベクトルの大きさは変わらない

反変ベクトルの大きさ gμνAμAνg_{\mu\nu}A^\mu A^\nu に関し, gμνAμAν=AνAν=gμνAμAν g_{\mu\nu}A^\mu A^\nu = A_\nu A^\nu = g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu が成立します。このベクトルの大きさは xx+dxx \to x+dx の平行移動において,変化しないことを以下に示します。

平行移動における変化分 d(gμνAμAν)d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu) は, d(gμνAμAν)=gμνAμdAν+gμνdAμAν+dgμνAμAν=AνdAν+AμdAμ+AμAνgμνxσdxσ=AνAμΓμνσdxσ+AμAνΓνμσdxσ+AμAνgμνxσdxσ=AνAμdxσ(Γμνσ+Γνμσ)+AνAμgμνxσdxσ=(AνAμgμνxσ+AμAνgμνxσ)dxσ\begin{aligned} d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu) &= g^{\mu\nu}A_\mu dA_\nu + g^{\mu\nu}dA_\mu A_\nu + dg^{\mu\nu} A_\mu A_\nu\\ &= A^\nu dA_\nu + A^\mu dA_\mu + A_\mu A_\nu \cdot \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= A^\nu A^\mu \Gamma_{\mu\nu\sigma}dx^\sigma + A^\mu A^\nu \Gamma_{\nu\mu\sigma}dx^\sigma + A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= A^\nu A^\mu dx^\sigma (\Gamma_{\mu\nu\sigma} + \Gamma_{\nu\mu\sigma}) + A_\nu A_\mu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} dx^\sigma\\ &= (A^\nu A^\mu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}}) dx^\sigma \end{aligned} さて, (gαμgμν)xσ=gαμxσgμν+gαμgμνxσ=δναxσ=0 \dfrac{\partial{(g^{\alpha\mu} g_{\mu\nu})}}{\partial{x^\sigma}} = \dfrac{\partial{g^{\alpha\mu}}}{\partial{x^\sigma}} g_{\mu\nu} + g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} = \dfrac{\partial{\delta^\alpha_\nu}}{\partial{x^\sigma}} = 0 において,gβνg^{\beta\nu} をかければ gβνgμνgαμxσ+gβνgαμgμνxσ=0gαβxσ+gβνgαμgμνxσ=0\begin{aligned} g^{\beta\nu}g_{\mu\nu}\dfrac{\partial{g^{\alpha\mu}}}{\partial{x^\sigma}} + g^{\beta\nu}g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0\\ \therefore \dfrac{\partial{g^{\alpha\beta}}}{\partial{x^\sigma}} + g^{\beta\nu}g^{\alpha\mu} \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0 \end{aligned} この両辺に AαAβA_\alpha A_\beta をかけて, AαAβgαβxσ+AμAνgμνxσ=0AμAνgμνxσ+AμAνgμνxσ=0\begin{aligned} A_\alpha A_\beta \dfrac{\partial{g^{\alpha\beta}}}{\partial{x^\sigma}} + A^\mu A^\nu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0\\ A_\mu A_\nu \dfrac{\partial{g^{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} + A^\mu A^\nu \dfrac{\partial{g_{\mu\nu}}}{\partial{x^\sigma}} &= 0 \end{aligned} が成立するから, d(gμνAμAν)=0(1) d(g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu) = 0 \tag{1}

反変ベクトルの平行移動

(1)(1) の式より, d(AνAν)=0AνdAν+AνdAν=0AνdAν=AνdAν=AνΓνσμAμdxσ=AμΓμσνAνdxσ\begin{aligned} d(A_\nu A^\nu) &= 0\\ \therefore A^\nu dA_\nu + A_\nu dA^\nu &= 0\\ \therefore A_\nu dA^\nu &= - A^\nu dA_\nu\\ &= - A^\nu \Gamma^\mu_{\nu\sigma} A_\mu dx^\sigma\\ &= - A^\mu \Gamma^\nu_{\mu\sigma} A_\nu dx^\sigma \end{aligned} AνA_\nu は任意ですから, dAν=AμΓμσνdxσ dA^\nu = - A^\mu \Gamma^\nu_{\mu\sigma} dx^\sigma これは,反変ベクトルの平行移動の公式です。

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