一般相対性理論における固有時

速度による伸び縮み

重力場が存在しないとします。このとき，一般座標系でも $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ が成立します（重力がないため局所慣性系をとるまでもなく，いたるところが慣性系である）。 $$\begin{aligned} \dfrac{d\tau}{du^0} &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \dfrac{du^\mu}{du^0}\dfrac{du^\nu}{du^0}}\\ \therefore \dfrac{d\tau}{dt} &= \sqrt{\left(\dfrac{du^0}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^1}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^2}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^3}{du^0}\right)^2}\\ &= \sqrt{1 - \dfrac{\|\boldsymbol{v}\|^2}{c^2}}\\ \therefore d\tau &= \sqrt{1 - \dfrac{\|\boldsymbol{v}\|^2}{c^2}} dt = \dfrac{1}{\gamma}dt \end{aligned}$$ とできます。固有時の形は，重力場がない空間では特殊相対論と変わりません。一般座標に対して，速さ $v$ で動く点の固有時 $\tau$ は，$v$ が 大きくなるほど遅れます。

重力による伸び縮み

次に，速度ではなく，重力による時間ののび縮みを見ます。一般座標系で静止している点，つまり $$\dfrac{du^i}{du^0} = 0 ~~~(i = 1,2,3)$$ を満たす点を考えます。 $$\begin{aligned} \dfrac{d\tau}{du^0} &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}\left(\dfrac{du^0}{du^0}\right)^2} = \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}}\\ \therefore d\tau &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}}du^0 = \sqrt{-g_{00}} dt \end{aligned}$$ 弱重力場，定常重力場で，速度が十分小さく，無限に遠い点ではMinkowski計量がとれるという条件のもとでは， $$g_{00} = -1-\dfrac{2\phi}{c^2}$$ となることを→測地線方程式の節でのちに学びます。これを代入すれば， $$d\tau = \sqrt{1 + \dfrac{2\phi}{c^2}}dt$$ と書くことができます。

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