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一般相対性理論における固有時

更新日時 2021/03/28

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特殊相対論では,ds2ds^2 がスカラーであるため, ds2=ημνdxμdxν=c2dτ2 ds^2 = \eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu = -c^2 d\tau^2 という関係がありました。一般座標系 uμu^\mu でこれを表すと, dτ2=1c2ds2=1c2gμνduμduνdτ=1cgμνduμduν\begin{aligned} d\tau^2 &= - \dfrac{1}{c^2}ds^2 = - \dfrac{1}{c^2}g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu\\ d\tau &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu} \end{aligned} また, dτdu0=1cgμνduμduν\begin{aligned} \dfrac{d\tau}{du^0} = \dfrac{1}{c} \sqrt{-g_{\mu\nu}du^\mu du^\nu} \end{aligned} が成立します。これを特殊な条件のもとではどう書き換えられるか,考えてみます。

目次
  • 速度による伸び縮み

  • 重力による伸び縮み

速度による伸び縮み

重力場が存在しないとします。このとき,一般座標系でも gμν=ημνg_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} が成立します(重力がないため局所慣性系をとるまでもなく,いたるところが慣性系である)。 dτdu0=1cημνduμdu0duνdu0dτdt=(du0du0)2(du1du0)2(du2du0)2(du3du0)2=1v2c2dτ=1v2c2dt=1γdt\begin{aligned} \dfrac{d\tau}{du^0} &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \dfrac{du^\mu}{du^0}\dfrac{du^\nu}{du^0}}\\ \therefore \dfrac{d\tau}{dt} &= \sqrt{\left(\dfrac{du^0}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^1}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^2}{du^0}\right)^2-\left(\dfrac{du^3}{du^0}\right)^2}\\ &= \sqrt{1 - \dfrac{\|\boldsymbol{v}\|^2}{c^2}}\\ \therefore d\tau &= \sqrt{1 - \dfrac{\|\boldsymbol{v}\|^2}{c^2}} dt = \dfrac{1}{\gamma}dt \end{aligned} とできます。固有時の形は,重力場がない空間では特殊相対論と変わりません。一般座標に対して,速さ vv で動く点の固有時 τ\tau は,vv が 大きくなるほど遅れます。

重力による伸び縮み

次に,速度ではなく,重力による時間ののび縮みを見ます。一般座標系で静止している点,つまり duidu0=0   (i=1,2,3) \dfrac{du^i}{du^0} = 0 ~~~(i = 1,2,3) を満たす点を考えます。 dτdu0=1cg00(du0du0)2=1cg00dτ=1cg00du0=g00dt\begin{aligned} \dfrac{d\tau}{du^0} &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}\left(\dfrac{du^0}{du^0}\right)^2} = \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}}\\ \therefore d\tau &= \dfrac{1}{c}\sqrt{-g_{00}}du^0 = \sqrt{-g_{00}} dt \end{aligned} 弱重力場,定常重力場で,速度が十分小さく,無限に遠い点ではMinkowski計量がとれるという条件のもとでは, g00=12ϕc2 g_{00} = -1-\dfrac{2\phi}{c^2} となることを→測地線方程式の節でのちに学びます。これを代入すれば, dτ=1+2ϕc2dt d\tau = \sqrt{1 + \dfrac{2\phi}{c^2}}dt と書くことができます。

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