サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

サイクロイドは「円を転がした時の円周上の1点が動く軌跡」であり，媒介変数表示を用いて表される代表的な曲線です。

面積や体積，長さを求める準備として，まずはサイクロイドのグラフを描いてみます。

サイクロイドの媒介変数表示 $$\begin{cases} x = a(\theta - \sin \theta)\\ y = a(1-\cos \theta) \end{cases}$$ に対して，$x$ を $\theta$ で微分すると， $$\dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta)$$ となります。$0 < \theta < 2\pi$ の範囲では $1-\cos\theta$ は正なので，$\theta$ が増加するにつれて $x$ は増加します。

また， $y$ を $\theta$ で微分すると， $$\dfrac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$$ となるので $\theta$ が増加するにつれ，$0<\theta<\pi$ の範囲では $y$ は増加， $\pi<\theta< 2\pi$ の範囲では $y$ は減少します。

また，$y$ の符号について考えると，$1- \cos \theta \geqq 0$ より， $$y = a(1-\cos\theta) \geqq 0$$ が成立します。

これらに基づくと，グラフの概形は図のようになります。軌跡を描く点は右に動きつつ，$\theta = \pi$ までは上へ，それ以降は下へ動きます。

サイクロイド曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は，公式より， $$S = \int_0^{2\pi a} y dx$$ で計算できます。これを，置換積分を用いて $\theta$ で積分していきます。 $$\dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta)$$ であり， $x$ が $0 \rightarrow 2\pi a$ となるとき， $\theta$ は $0 \rightarrow 2\pi$ となります。よって， $$\begin{aligned} S &= \int_0^{2\pi a} y \left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a(1-\cos\theta) \cdot a(1-\cos\theta)d\theta \\ &= a^2 \int_0^{2\pi} (1-2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta \\ \end{aligned}$$ ここで， $\cos^2 \theta= \dfrac{1+\cos2 \theta}{2}$ により $$\begin{aligned} S &= a^2 \int_0^{2\pi} \left(1-2\cos\theta + \dfrac{1+\cos2 \theta}{2}\right)d\theta \\ &= a^2 \int_0^{2\pi} \left(\dfrac{3}{2}-2\cos\theta + \dfrac{\cos2 \theta}{2}\right)d\theta \\ &= a^2 \left[\dfrac{3}{2}\theta -2\sin\theta + \dfrac{\sin2 \theta}{4}\right]_0^{2\pi}\\ &= 3\pi a^2 \end{aligned}$$

これより， $S$ は転がる円の面積のちょうど $3$ 倍であることがわかります。

やっていることは単純で，ただ置換積分をしているだけです。置換積分は計算ミスをしやすいので，落ち着いて計算しましょう。

最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉 の問題236では，ガウスグリーンの公式を用いた別解も紹介しています。

回転体の体積を求める公式： $$V = \int_a^b \pi \{f(x)\}^2dx$$ を使うと， $x$ 軸周りの回転体の体積 $V$ は $$\begin{aligned} V &= \pi \int_0^{2\pi a}y^2 dx\\ &= \pi \int_0^{2\pi}a^2(1-\cos\theta)^2 \cdot a(1-\cos\theta) d\theta\\ &= \pi a^3 \times \\ &\int_0^{2\pi}(1-3\cos\theta +3\cos^2\theta - \cos^3 \theta)d\theta \end{aligned}$$ ここで， $$\begin{aligned} \cos^2 \theta &= \dfrac{1+\cos2 \theta}{2} \\ \cos^3 \theta &= \dfrac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4} \end{aligned}$$ により $$\begin{aligned} V &= \pi a^3 \int_0^{2\pi}\left(\dfrac{5}{2}-\dfrac{15}{4}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\cos 2\theta - \dfrac{1}{4}\cos 3 \theta\right)d\theta \\ &= \pi a^3 \left[\dfrac{5}{2}\theta -\dfrac{15}{4}\sin\theta + \dfrac{3}{4}\sin 2 \theta - \dfrac{1}{12}\sin 3\theta\right]_0^{2\pi}\\ &= 5 \pi^2 a^3 \end{aligned}$$ となります。

公式に当てはめてしまえば，あとは単純な計算問題でした（計算量は重いですが）。

曲線の長さを求める公式： $$L = \int_\alpha^\beta \sqrt{f'(t)^2 + g'(t)^2}dt$$ を使うと，サイクロイド曲線の長さ $L$ は $$\begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2 + a^2 \sin^2 \theta}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2-2\cos\theta}d\theta \\ \end{aligned}$$ ここで， $1-\cos\theta = 2 \sin^2 \dfrac{\theta}{2}$ を用いると， $$\begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2(1-\cos\theta)}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} a\sqrt{2 \cdot 2 \sin^2 \dfrac{\theta}{2}}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} 2a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|d\theta \\ \end{aligned}$$ $0 \leqq \theta \leqq 2\pi$ より $0 \leqq \dfrac{\theta}{2} \leqq \pi$ であるから， $\sin\dfrac{\theta}{2} \geqq 0$

よって絶対値がそのまま外せて $$\begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} 2a\sin\dfrac{\theta}{2}d\theta \\ &= 2a \left[-2\cos \dfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi} \\ &= 8a \end{aligned}$$ となります。

サイクロイドの曲線の長さには $\pi$ が出てきません。半径の $8$ 倍という綺麗な結果になります。

$\sqrt{1-\cos\theta}$ が積分に出てきて少し戸惑うかもしれませんが，半角の公式を使うことでルートを外せることを知っておきましょう。また，ルートを外す際には絶対値記号をつけることを忘れずに。