運動量保存則とエネルギー保存則の導出

運動方程式 $ma=F$ の両辺を $t$ で積分すると，

$m\displaystyle\int \dfrac{dv}{dt} dt=\displaystyle\int Fdt$

この式の右辺は力積 $I$ であり，左辺は置換積分を使うと $mV-mv$ となる。

各物体について $1$ が成立するので，$m_kV_k-m_kv_k=I_k$

これを全ての $k$ について足し合わせると，

$\displaystyle\sum_{k=1}^nm_kV_k-\displaystyle\sum_{k=1}^nm_kv_k=\displaystyle\sum_{k=1}^nI_k$

ここで，作用反作用の法則より，系が外力を受けない場合上式の右辺は $0$ である。よって2が示された。

運動方程式の両辺に $v$ をかけて $t$ で積分すると，

$\displaystyle\int mvadt=\displaystyle\int Fvdt$

右辺は $\displaystyle\int Fdx$ であり，物体がされた仕事 $W$ と一致する。左辺は，

$\displaystyle\int mv\dfrac{dv}{dt}dt\\ =\displaystyle\int m vdv\\ =\dfrac{1}{2}mV^2-\dfrac{1}{2}mv^2$

となる。

保存力の定義（$F=-\dfrac{dU}{dx}$ ）より，$W=\displaystyle\int Fdx =u-U$ である。これと1を合わせると2を得る。