反発係数を考慮した自由落下の有名問題

1回目に地面と衝突する直前の速さを $v$，直後の速さを $v'$ とおくと，

反発係数の公式（定義）より $e=\dfrac{v'}{v}$

また，エネルギー保存則より $\dfrac{1}{2}mv^2=mga_0$

$\dfrac{1}{2}mv'^2=mga_1$

以上3つの式より $e^2=\dfrac{a_1}{a_0}$

自由落下させてから $t$ 秒間に落ちる距離は，$\dfrac{1}{2}gt^2$

よって，初めての衝突までにかかる時間 $t$ は $\dfrac{1}{2}gt^2=a_0$ を満たす。つまり $t=\sqrt{\dfrac{2a_0}{g}}$

また，はじめて衝突してからもう一度最高点に到達するまでにかかる時間は同様に考えて $\sqrt{\dfrac{2a_1}{g}}$

よって，$t_1=\sqrt{\dfrac{2a_0}{g}}(1+e)$

さきほどと同様にして，任意の非負整数 $n$ に対して $e^2=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ が分かる。

よって，$a_n$ は初項 $a_0=h$，公比 $e^2$ の等比数列である。

一般項は，$a_n=he^{2n}$

さきほどと同様にして，任意の正の整数 $n$ に対して $t_n=\sqrt{\dfrac{2a_{n-1}}{g}}(1+e)$ が分かる。

ここで，$a_n$ が公比 $e^2$ の等比数列であることから $t_n$ は公比 $e$ の等比数列であることが分かる。

一般項は，$t_n=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}(e^{n-1}+e^n)$