ラプラス変換の定義と具体例・性質

積分の線型性より明らか。

定義より $$\mathscr{L}[f(ax)] (s) = \int_0^{\infty} e^{-sx}f(ax) dx$$ である。$y = ax$ と置換すると $$\begin{aligned} \mathscr{L}[f(ax)] (s) &= \int_0^{\infty} e^{-\frac{s}{a} x}f(y) \dfrac{dy}{a}\\ &= \frac{1}{a} \mathscr{L} [f(x)] \left( \frac{s}{a} \right) \end{aligned}$$ である。

$$\begin{aligned} &\mathscr{L} [f'(x)] (s)\\ &= \int_{0}^{\infty} \dfrac{d}{dt} f(t) e^{-st} dt\\ &= \Big[ f(t) e^{-st} \Big]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} (-s) f(t)e^{-st} dt\\ &= s \mathscr{L}[f] (s) - f(0) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\mathscr{L} \Big[ \int_0^x f(t) dt \Big] (s)\\ &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_0^t f(u) du \right) e^{-st} dt\\ &= \Big[\left( \int_0^t f(u) du \right) \left(-\frac{1}{s} e^{-st} \right) \Big]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} \frac{1}{s} f(t) e^{-st} dt\\ &= \frac{1}{s} \mathscr{L}[f(x)] (s) \end{aligned}$$

1. 定数関数 $$\begin{aligned} \mathscr{L}[1] &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} dt\\ &=\frac{1}{s} \end{aligned}$$

2. 変数 $$\begin{aligned} \mathscr{L}[x] &= \int_{0}^{\infty} te^{-st} dt\\ &= \Big[ -\dfrac{1}{s} te^{-st} - \dfrac{1}{s^2} e^{-st} \Big]_0^{\infty}\\ &= \frac{1}{s^2}\\ \end{aligned}$$

3. 冪関数 $$\begin{aligned} \mathscr{L}[x^{a}] &= \int_{0}^{\infty} t^{a} e^{-st} dt\\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{a}} (st)^{a} e^{-st} dt\\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s^{a+1}} (st)^{(a+1)-1} e^{-st} dt\\ &= \frac{\Gamma (a+1)}{s^{a+1}}\\ \end{aligned}$$ → ガンマ関数

• 指数関数 $$\begin{aligned} \mathscr{L}[e^{-ax}] (s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-st} dt\\ &= \frac{1}{s+a}\\ \end{aligned}$$

• 三角関数 $$\begin{aligned} \mathscr{L}[\sin ax] (s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \sin t dt\\ &= \frac{a}{s^2+1} \\ \mathscr{L}[\cos ax] (s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \cos t dt\\ &= \frac{s}{s^2+1} \end{aligned}$$ → 三角関数と指数関数の積の積分

• 双曲関数

定義 $\sinh t = \dfrac{e^{t} - e^{-t}}{2}$，$\cosh t = \dfrac{e^t + e^{-t}}{2}$ と指数関数の結果から従う。

$$\begin{aligned} \mathscr{L}[\delta (x)] (s) &= \int_{0}^{\infty} \delta (t) e^{-st} dt \\ &= e^0 = 1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\mathscr{L} [f*g] (s)\\ &=\mathscr{L}\left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) g(x-t) dt \right] (s)\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)g(x-t)dt\right)e^{-sx}dx \end{aligned}$$

フビニの定理より積分の順序を交換すると，上式は

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}g(x-t)e^{-sx}dx\right)f(t)dt$$

となる。この $x$ についての積分は $x-t=y$ と置換すると

$$\int_{-\infty}^{\infty}g(y)e^{-sy}dy\times e^{-st}=e^{-st}\mathscr{L} [g] (s)$$

となる。よって $$\begin{aligned} &\mathscr{L} [f \ast g] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} \mathscr{L} [g] (s) f(t) dt\\ &= \mathscr{L} [f] (s) \mathscr{L} [g] (s) \end{aligned}$$ である。