フーリエ変換の意味と応用例

更新日時 2021/09/26
フーリエ変換

可積分関数 f(x)f(x) のフーリエ変換(Fourier transform)f^(ξ)\hat{f}(\xi) f^(ξ)=f(x)eixξdx\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx

と定める(可積分関数とは f(x)dx<\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty を満たす関数のこと)。

目次
  • フーリエ変換とは

  • 具体例

  • 性質

  • フーリエ逆変換公式

  • 応用例

  • 補足

フーリエ変換とは

フーリエ級数展開とは,周期関数を三角関数(or 複素指数関数)の和で表すというものでした(→フーリエ級数展開の公式と意味複素数型のフーリエ級数展開とその導出)。

具体的には,周期 2kπ2 k \pi の関数 f(x)f(x) で適切な条件を満たすものは, cn=kπkπf(x)einx/kdxc_n = \int_{-k \pi}^{k \pi} f(x) e^{-inx/k}dx という係数 cnc_n を使って f(x)=12kπn=cneinx/kf(x)=\frac{1}{2k \pi} \sum_{n= -\infty}^{\infty} c_n e^{inx/k}

と展開できるのでした(元記事と少し形が違いますが,積分の変数変換などで変形できます)。

これを周期的でない関数にも拡張したい,という考えで定義されるのがフーリエ変換です。具体的には「周期 2kπ2 k \pi の関数」について成立するフーリエ級数展開において kk \to \infty という極限を考えることで,周期的でない関数も扱えそうです。そこで cnc_n の式で kk \to \infty の極限をとってみると,ξ=n/k\xi = n/k とおいて f^(ξ)=f(x)eixξdx \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx という f^(ξ)\hat{f}(\xi) を考えたくなります(ξ\xi はギリシャ文字のグザイ)。cnc_nf(x)f(x)einx/ke^{inx/k} 成分の大きさを表していたことを考えると,f^(ξ)\hat{f}(\xi)「関数 f(x)f(x)eixξe^{ix\xi} 成分」のような値です。

そして f(x)f(x) の展開公式は,シグマの極限が積分になること(区分求積法)を考えると f(x)=12πf^(ξ)eixξdξf(x) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ix \xi}d \xi のようになりそうです。

この赤字の2つの式のうちの1つ目で定義されるのがフーリエ変換です。つまりフーリエ変換は「xx の関数 f(x)f(x)」から 「ξ\xi の関数 f^(ξ)\hat{f}(\xi)」を作るような変換です。

しかしどんな関数でもフーリエ変換できるわけではなく,広義積分がちゃんと収束するように,基本的には可積分関数f(x)dx<\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty を満たす関数)のみを考えます。

そして2つ目の式はフーリエ逆変換公式といい,適切な条件を満たす f(x)f(x) については成り立つことが知られています。

具体例

フーリエ変換の具体的な計算の例です。

計算例1

f(x)=exf(x)=e^{-|x|} のフーリエ変換は f^(ξ)=exeixξdx=0exeixξdx+0exeixξdx=0e(1iξ)xdx+0e(1+iξ)xdx=[e(1iξ)x1iξ]0+[e(1+iξ)x(1+iξ)]0=11iξ+11+iξ=21+ξ2 \begin{aligned} \hat{f}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-|x|} e^{-ix \xi} dx \\ &= \int_{-\infty}^{0} e^{x} e^{-ix \xi} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x} e^{-ix \xi} dx \\ &= \int_{-\infty}^{0} e^{(1-i\xi)x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-(1+i\xi)x} dx \\ &= \left[\frac{e^{(1-i\xi)x}}{1-i\xi} \right]_{-\infty}^{0} + \left[\frac{e^{-(1+i\xi)x}}{-(1+i\xi)} \right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{1}{1-i \xi}+\frac{1}{1+ i \xi}\\ &= \frac{2}{1+\xi^2} \end{aligned} である。(5つ目の等号は limxe(1iξ)x=limxex(cos(ξx)+isin(ξx))=limxex=0\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty}|e^{(1-i\xi)x}|&=\lim_{x \to -\infty}|e^x(\cos (-\xi x) +i \sin (-\xi x))|\\ &=\lim_{x \to -\infty}e^x \\ &=0 \end{aligned} などを使った。→オイラーの公式と複素指数関数

計算例2

f(x)={1 (x1)0 (x>1)\begin{equation*} f(x)= \left \{ \begin{array}{l} 1 (|x| \leq 1) \\ 0 (|x|>1) \end{array} \right. \end{equation*} のフーリエ変換は f^(ξ)=11eixξdx=[eixξiξ]11=eiξiξeiξiξ=eiξeiξiξ=2isinξiξ=2sinξξ \begin{aligned} \hat{f}(\xi) &= \int_{-1}^{1} e^{-ix \xi} dx \\ &= \left[\frac{e^{-ix\xi}}{-i\xi}\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{e^{-i\xi}}{-i\xi} - \frac{e^{i\xi}}{-i\xi} \\ &= \frac{e^{i\xi}-e^{-i\xi}}{i\xi} \\ &= \frac{2i \sin \xi}{i\xi}\\ &=\frac{2\sin \xi}{\xi} \end{aligned} である(途中の変形でオイラーの公式を使った)。

性質

フーリエ変換はさまざまな良い性質を満たします。

微分と ix-ixiξi\xi) 倍

フーリエ変換によって「微分」と「ix-ixiξi\xi)倍」が入れ替わります。つまり ddξf^(ξ)=(ix)f(x)eixξdx=ixfundefined(ξ)\frac{d}{d \xi} \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}(-ix) \cdot f(x)e^{-ix\xi}dx = \widehat{-ixf}(\xi)

(iξ)f^(ξ)=(ddxf(x))eixξdx=fundefined(ξ)(i\xi) \cdot \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{d}{dx}f(x)\right)e^{-ix\xi}dx = \widehat{f'}(\xi)

が成り立ちます(これを使うと,微分方程式を代数方程式に変換できる場合があります。)

積と畳み込み

フーリエ変換によって「積」と「畳み込み」が入れ替わります。(→合成積(畳み込み)の意味と応用3つ)つまり

fgundefined(ξ)=f^(ξ)f^(ξ)\widehat{f*g}(\xi) = \hat{f}(\xi) \hat{f}(\xi) fgundefined(ξ)=12π(f^g^)(ξ)\widehat{fg}(\xi)= \frac{1}{2 \pi}(\hat{f}*\hat{g})(\xi)

が成り立ちます。

プランシュレルの定理

フーリエ変換によって関数の「エネルギー」や「内積」は 12π\frac{1}{2\pi} 倍を除いて不変です。つまり f(x)2dx=12πf^(ξ)2dξ\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi f(x)g(x)dx=12πf^(ξ)g^(ξ)dξ\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \overline{g(x)}dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)}d\xi が成り立ちます(g(x)\overline{g(x)}g(x)g(x) の複素共役)。これをプランシュレル(Plancherel)の定理といいます。

リーマン・ルベーグの補題

可積分関数 f(x)f(x) のフーリエ変換 f^(ξ)\hat{f}(\xi) は連続関数で, limξ±f^(ξ)=0\lim_{\xi \to \pm \infty} \hat{f}(\xi) = 0 を満たします(リーマン・ルベーグ(Riemann-Lebesgue)の補題)。これは f(x)f(x) の高周波成分( ξ|\xi| が大きいときの f^(ξ)\hat{f}(\xi) の値)が小さくなっていくことを表しています。

フーリエ逆変換公式

f^(ξ)\hat{f}(\xi) が関数 f(x)f(x)eixξe^{ix\xi} 成分のようなものだと考えると,f(x)=12πf^(ξ)eixξdξf(x) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ix \xi}d \xi という式が成立しそうです。これがフーリエ逆変換公式,フーリエ反転公式(Fourier inversion theorem)です。

フーリエ逆変換公式

可積分関数 f(x)f(x) に対し,もし f^(ξ)\hat{f}(\xi) も可積分なら f(x)=12πf^(ξ)eixξdξf(x) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{ix \xi}d \xi が成り立つ。

フーリエ変換は eixξe^{-ix\xi},フーリエ逆変換は 12πeixξ\frac{1}{2 \pi}e^{ix\xi} なので間違えないように注意しましょう! また f^(ξ)\hat{f}(\xi) についての仮定は広義積分が収束するために必要です。

応用例

ここまでの性質,定理を使って色々な積分を計算してみましょう。

応用例1

cos2x1+x2dx\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{1+x^2}dx

を計算する。倍角の公式オイラーの公式より cos2x=1+cos2x2=12+e2ix+e2ix4 \begin{aligned} \cos^2 x &= \frac{1+\cos 2x}{2}\\ &= \frac{1}{2}+\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{4} \end{aligned} だから cos2x1+x2dx=11+x2(12+e2ix+e2ix4)dx \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{1+x^2}dx \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}\left(\frac{1}{2}+\frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{4}\right)dx\\ \end{aligned} となる。よって 11+x2dx,e2ix1+x2dx,e2ix1+x2dx\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx,\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2ix}}{1+x^2}dx, \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2ix}}{1+x^2}dx

という3つの値がわかれば積分が計算できる。

ここで f(x)=exf(x)=e^{-|x|} とおくと,さきほどの計算例1より f^(ξ)=21+ξ2\hat{f}(\xi)=\frac{2}{1+\xi^2} であった。ξ=tanθ\xi = \tan \theta と置換積分することで dξ1+ξ2=π/2π/211+tan2θdθcos2θ=π/2π/2cos2θdθcos2θ=π< \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\xi}{1+\xi^2} &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan^2 \theta}\cdot \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 \theta \cdot \frac{d\theta}{\cos^2 \theta}\\ &= \pi < \infty \end{aligned} だから,f^(ξ)\hat{f}(\xi) も可積分関数である。よってフーリエ逆変換公式が使えて ex=f(x)=12πf^(ξ)eixξdξ=12π2eixξ1+ξ2dξ=1πeixξ1+ξ2dξ \begin{aligned} e^{-|x|} &= f(x)\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{ix\xi} d\xi\\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2e^{ix\xi}}{1+\xi^2} d\xi\\ &= \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix\xi}}{1+\xi^2}d\xi \end{aligned} が成り立つ。これに x=±2x= \pm 2 を代入することで e±2iξ1+ξ2dξ=πe2 \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\pm 2i\xi}}{1+\xi^2}d\xi = \frac{\pi}{e^2} となる。これで求めたい3つの値がわかったから,元の積分は cos2x1+x2dx=1211+x2dx+14e2ix1+x2dx+14e2ix1+x2dx=π2+12πe2=π2(1+1e2) \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos^2x}{1+x^2}dx \\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}dx + \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2ix}}{1+x^2}dx + \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-2ix}}{1+x^2}dx\\ &= \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{e^2} \\ &= \frac{\pi}{2}\left(1+\frac{1}{e^2}\right) \end{aligned} となる。

応用例2

0exsinxxdx\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}\sin x}{x}dx

を計算する。(sinx)/x(\sin x)/x は偶関数だから,積分は 12exsinxxdx\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-|x|}\sin x}{x}dx に等しい。

ここで f(x)={1 (x1)0 (x>1)\begin{equation*} f(x)= \left \{ \begin{array}{l} 1 (|x| \leq 1) \\ 0 (|x|>1) \end{array} \right. \end{equation*}

g(x)=11+x2g(x)=\frac{1}{1+x^2} とおく。まず上で見た計算例2より f^(ξ)=2sinξξ\hat{f}(\xi) = \frac{2\sin \xi}{\xi} である。また,計算例1で xxξ\xi の役割を入れ替えると eξ=1πeixξ1+x2dx e^{-|\xi|} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x \xi}}{1+x^2}dx だから,g(x)g(x) のフーリエ変換は g^(ξ)=eixξ1+x2dx=πeξ=πeξ \begin{aligned} \hat{g}(\xi) &=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-i x \xi}}{1+x^2}dx\\ &= \pi e^{-|ー\xi|}\\ &= \pi e^{-|\xi|} \end{aligned} である。よってプランシュレルの定理f(x),g(x)f(x),g(x) に使うと eξsinξξdξ=12π2sinξξπeξdξ=12πf^(ξ)g^(ξ)dξ=f(x)g(x)dx=1111+x2dx=π2 \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-|\xi|}\sin \xi}{\xi}d\xi \\ &=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{2 \sin \xi}{\xi} \cdot\pi e^{-|\xi|} d\xi \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)}d\xi \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\overline{g(x)}dx\\ &= \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2}dx \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} となる(最後の積分は x=tanθx = \tan \theta として置換積分)。

よって求める積分は 0exsinxxdx=12exsinxxdx=π4 \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}\sin x}{x}dx &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-|x|}\sin x}{x}dx \\ &=\frac{\pi}{4} \end{aligned} となる。

補足

  • フーリエ変換の定義として f^(ξ)=12πf(x)eixξdx\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx f^(ξ)=f(x)e2πixξdx\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi ix \xi} dx などを使う流儀もあります。その場合,上で見た公式たちは少し違う形になります。

  • 応用的な場面(物理,工学など)では,可積分でない関数についてのフーリエ変換を考えることもあります。例えば f(x)=sinxxf(x) = \frac{\sin x}{x}sinxxdx=20sinxxdx=2n=1(n1)πnπsinxxdx2n=1(n1)πnπsinxnπdx=2n=12nπ=4πn=11n= \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx &=2\int_{0}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx\\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx\\ & \geq 2\sum_{n=1}^{\infty}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left|\frac{\sin x}{n\pi} \right|dx\\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\\ &= \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \\ &= \infty \end{aligned} となるので,可積分ではありません(最後の計算は調和級数1+1/2+1/3…が発散することの3通りの証明を参照)。しかし上で見たように sinxx=1211eixξdξ=12π11πeixξdξ\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}e^{ix\xi}d\xi = \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}\pi e^{ix\xi} d\xi なので,逆変換公式から逆算して f^(ξ)={π (ξ1)0 (ξ>1)\begin{equation*} \hat{f}(\xi)= \left \{ \begin{array}{l} \pi (|\xi| \leq 1) \\ 0 (|\xi|>1) \end{array} \right. \end{equation*} と計算したくなります。
    またディラックのデルタ δ(x)\delta(x) はそもそも関数ですらありませんが,その性質を考えると δ^(ξ)=δ(x)eixξdx=eixξx=0=1 \begin{aligned} \hat{\delta}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-ix\xi}dx\\ &= e^{-ix\xi}|_{x=0}\\ &=1 \end{aligned} と計算できそうです。
    これら可積分でない(あるいは関数ですらない)ものに対するフーリエ変換については,関数解析や超関数といった発展的な理論を使うと計算できる場合があります。

フーリエ変換とフーリエ級数展開を統一して扱うことのできる理論もあります(局所コンパクトアーベル群のポントリャーギン双対の理論)。