フーリエ変換の意味と応用例

フーリエ級数展開とは，周期関数を三角関数（or 複素指数関数）の和で表すというものでした（→フーリエ級数展開の公式と意味，複素数型のフーリエ級数展開とその導出）。

具体的には，周期 $2 k \pi$ の関数 $f(x)$ で適切な条件を満たすものは， $$c_n = \int_{-k \pi}^{k \pi} f(x) e^{-inx/k}dx$$ という係数 $c_n$ を使って $$f(x)=\frac{1}{2k \pi} \sum_{n= -\infty}^{\infty} c_n e^{inx/k}$$

と展開できるのでした（元記事と少し形が違いますが，積分の変数変換などで変形できます）。

これを周期的でない関数にも拡張したい，という考えで定義されるのがフーリエ変換です。具体的には「周期 $2 k \pi$ の関数」について成立するフーリエ級数展開において $k \to \infty$ という極限を考えることで，周期的でない関数も扱えそうです。そこで $c_n$ の式で $k \to \infty$ の極限をとってみると，$\xi = n/k$ とおいて $$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$ という $\hat{f} (\xi)$ を考えたくなります（$\xi$ はギリシャ文字のグザイ）。$c_n$ が $f(x)$ の $e^{inx/k}$ 成分の大きさを表していたことを考えると，$\hat{f} (\xi)$ は「関数 $f(x)$ の $e^{ix\xi}$ 成分」のような値です。

そして $f(x)$ の展開公式は，シグマの極限が積分になること（区分求積法）を考えると $$f(x) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f} (\xi) e^{ix \xi}d \xi$$ のようになりそうです。

この赤字の2つの式のうちの1つ目で定義されるのがフーリエ変換です。つまりフーリエ変換は「$x$ の関数 $f(x)$」から 「$\xi$ の関数 $\hat{f} (\xi)$」を作るような変換です。

しかしどんな関数でもフーリエ変換できるわけではなく，広義積分がちゃんと収束するように，基本的には可積分関数（$\int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx < \infty$ を満たす関数）のみを考えます。

そして2つ目の式はフーリエ逆変換公式といい，適切な条件を満たす $f(x)$ については成り立つことが知られています。

フーリエ変換の具体的な計算の例です。

フーリエ変換はさまざまな良い性質を満たします。

微分と $-ix$（$i\xi$） 倍

フーリエ変換によって「微分」と「$-ix$（$i\xi$）倍」が入れ替わります。つまり $$\frac{d}{d \xi} \hat{f} (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} (-ix) \cdot f(x)e^{-ix\xi}dx = \widehat{-ixf} (\xi)$$

$$(i\xi) \cdot \hat{f} (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) e^{-ix\xi}dx = \widehat{f'} (\xi)$$

が成り立ちます（これを使うと，微分方程式を代数方程式に変換できる場合があります。）

積と畳み込み

フーリエ変換によって「積」と「畳み込み」が入れ替わります。（→合成積（畳み込み）の意味と応用３つ）つまり

$$\widehat{f*g} (\xi) = \hat{f} (\xi) \hat{g} (\xi)$$ $$\widehat{fg} (\xi)= \frac{1}{2 \pi} (\hat{f}*\hat{g})(\xi)$$

が成り立ちます。

プランシュレルの定理

フーリエ変換によって関数の「エネルギー」や「内積」は $\frac{1}{2\pi}$ 倍を除いて不変です。つまり $$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{f} (\xi) |^2d\xi$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x) \overline{g(x)}dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f} (\xi)\overline{\hat{g } (\xi)}d\xi$$ が成り立ちます（$\overline{g(x)}$ は $g(x)$ の複素共役）。これをプランシュレル（Plancherel）の定理といいます。

リーマン・ルベーグの補題

可積分関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $\hat{f} (\xi)$ は連続関数で， $$\lim_{\xi \to \pm \infty} \hat{f} (\xi) = 0$$ を満たします（リーマン・ルベーグ（Riemann-Lebesgue）の補題）。これは $f(x)$ の高周波成分（ $|\xi|$ が大きいときの $\hat{f} (\xi)$ の値）が小さくなっていくことを表しています。

$\hat{f} (\xi)$ が関数 $f(x)$ の $e^{ix\xi}$ 成分のようなものだと考えると， $$f(x) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f} (\xi)e^{ix \xi}d \xi$$ という式が成立しそうです。これがフーリエ逆変換公式，フーリエ反転公式（Fourier inversion theorem）です。

フーリエ変換は $e^{-ix\xi}$，フーリエ逆変換は $\frac{1}{2 \pi}e^{ix\xi}$ なので間違えないように注意しましょう！　また $\hat{f}(\xi)$ についての仮定は広義積分が収束するために必要です。

ここまでの性質，定理を使って色々な積分を計算してみましょう。

• フーリエ変換の定義として $$\hat{f}(\xi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ix \xi} dx$$ $$\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi ix \xi} dx$$ などを使う流儀もあります。その場合，上で見た公式たちは少し違う形になります。

• 応用的な場面（物理，工学など）では，可積分でない関数についてのフーリエ変換を考えることもあります。例えば $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ は $$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx &=2\int_{0}^{\infty}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx\\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left|\frac{\sin x}{x} \right|dx\\ & \geq 2\sum_{n=1}^{\infty}\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}\left|\frac{\sin x}{n\pi} \right|dx\\ &= 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n\pi}\\ &= \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \\ &= \infty \end{aligned}$$ となるので，可積分ではありません（最後の計算は調和級数1+1/2+1/3…が発散することの３通りの証明を参照）。しかし上で見たように $$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1}e^{ix\xi}d\xi = \frac{1}{2\pi}\int_{-1}^{1}\pi e^{ix\xi} d\xi$$ なので，逆変換公式から逆算して $$\begin{equation*} \hat{f}(\xi)= \left \{ \begin{array}{l} \pi　(|\xi| \leq 1) \\ 0　(|\xi|>1) \end{array} \right. \end{equation*}$$ と計算したくなります。
  またディラックのデルタ $\delta(x)$ はそもそも関数ですらありませんが，その性質を考えると $$\begin{aligned} \hat{\delta}(\xi) &= \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)e^{-ix\xi}dx\\ &= e^{-ix\xi}|_{x=0}\\ &=1 \end{aligned}$$ と計算できそうです。
  これら可積分でない（あるいは関数ですらない）ものに対するフーリエ変換については，関数解析や超関数といった発展的な理論を使うと計算できる場合があります。

• 関数 $f$ のフーリエ変換はしばしば $\mathcal {F} (f)$ と書かれます。その上でフーリエ逆変換を $\mathcal{F}^{-1} (f)$ と書くことがあります。

距離空間 の記事でも登場しましたが，（実関数上の）関数空間 $L^2$ とは $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 dx$ が有限値になる実関数全体の集合でした。

$L^2$ は $\mathbb{R}$ 上のベクトル空間となります。

更に $f,g \in L^2$ に対して「内積」を $$(f,g) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) dx$$ と定義することで，内積空間となります。

ここで線形変換 $F$ を $$\mathcal{F} (f) = \sqrt{2\pi} \hat{f}$$ と定義すると，プランシュレルの定理から $$(\mathcal{F} (f) , \mathcal{F} (g)) = (f,g)$$ となります。

このように内積を保つ線型変換をユニタリ変換といいます。

この事実は関数解析や表現論において強く「効いて」きます。興味がある人は調べてみてください。