デルタ関数でポアソン方程式の特殊解・境界条件下の解の一意性を導出

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) &= \dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\right)\\ &= -\dfrac{x}{\|\boldsymbol{r}\|^3} \end{aligned}$$ より， $$\begin{aligned} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) &= 3\dfrac{x^2}{\|\boldsymbol{r}\|^5} - \dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^3} \end{aligned}$$ が成立する。これより， $$\begin{aligned} \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) &= 3\dfrac{x^2}{\|\boldsymbol{r}\|^5} - \dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^3} + 3\dfrac{y^2}{\|\boldsymbol{r}\|^5} - \dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^3} + 3\dfrac{z^2}{\|\boldsymbol{r}\|^5} - \dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^3}\\ &= 0 \end{aligned}$$

ただし，これは $\boldsymbol{r} \neq 0$ のときにのみ成立するものであるから，$\boldsymbol{0}$ であるときのことを別に考える必要がある。

$\nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right)$ を全空間で体積積分すると， $$\begin{aligned} \int_{V_{\text{all}}} \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) dV &= \int_{V_{\text{all}}} \nabla \cdot \nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) dV \end{aligned}$$ ここで，ガウスの発散定理を利用すると， $$\int_{V_{\text{all}}} \nabla \cdot \nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) dV = \int_{S_{\text{all}}} \nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS$$ ただし，$S_{\text{all}}$ は $V_{\text{all}}$ の表面を表す閉曲面である。ここで，$S_{\text{other}}, S_{\text{origin}}$ を定義する。$S$ を $S_{\text{other}}, S_{\text{origin}}$ に分割することを考える。以下の画像を見よ。

$O$ を含む部分を $S_{\text{origin}}$，$O$ を含まない部分を $S_{\text{other}}$ としている。$S_{\text{other}}$ はとても微小な丸型フラスコのような形をしている。ただ，筒状になっている部分は，微小な球状のところよりもさらに細く，球状の部分の面積に対して筒状の部分がさらに微小であるような場所である。

$$\nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) = -\dfrac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3}$$ より， $$\begin{aligned} \int_{S_{\text{all}}} \nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS &= \int_{S_{\text{other}}} \nabla \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS - \int_{S_{\text{origin}}} \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS\\ &= \int_{S_{\text{other}} \text{を境界に持つ領域}} \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) dV - \int_{S_{\text{origin}}} \dfrac{\boldsymbol{r}}{\|\boldsymbol{r}\|^3} \cdot \boldsymbol{n} dS\\ &= \int_{S_{\text{other}} \text{を境界に持つ領域}} 0 \quad dV - \dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|^2} \times 4\pi \|\boldsymbol{r}\|^2 = -4\pi \end{aligned}$$ $$\therefore \int_{V_{\text{all}}} \nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) dV = -4\pi \tag{1}$$ ここで，デルタ関数の定義より， $$\int_{V_{\text{all}}} (-4\pi) \delta(\boldsymbol{r}) dV = -4\pi$$ であるから，式 $(1)$ における被積分関数はデルタ関数と見なすことができ， $$\nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{r}\|}\right) = -4\pi\delta(\boldsymbol{r})$$

$f(x)$ の原始関数を $F(x)$ として， $$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) dx &= \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{a - \frac{\varepsilon}{2}}^{a + \frac{\varepsilon}{2}} \dfrac{f(x)}{\varepsilon} dx\\ &= \lim_{\varepsilon \to 0} \dfrac{F\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) - F\left(a - \frac{\varepsilon}{2}\right)}{\varepsilon}\\ &= f(a) \end{aligned}$$

$$\nabla^2 G(\boldsymbol{x}) = \delta(\boldsymbol{x})$$ を満たす関数 $G(\boldsymbol{r})$ を考える。実際には， $$\nabla^2 \left(\dfrac{1}{\|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}\|}\right) = -4\pi\delta(\|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}\|)$$ が成立するので，$G(\boldsymbol{x})$ の候補として $$G(\boldsymbol{x}) = -\dfrac{1}{4\pi}\dfrac{1}{\|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}\|}$$ を取ることができる。

$G(\boldsymbol{x})$ に対して， $$\nabla^2 G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}) = \delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})$$ が成立する。両辺に $f(\boldsymbol{y})$ をかけ，$\boldsymbol{y}$ で体積積分すれば， $$\begin{aligned} \int_{V_{\text{all}}} f(\boldsymbol{y}) \nabla^2 G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}) d^3 \boldsymbol{y} &= \int_{V_{\text{all}}} f(\boldsymbol{y})\delta(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})d^3 \boldsymbol{y} \end{aligned}$$ となる。ここでデルタ関数の性質を用いれば， $$\nabla^2\int_{V_{\text{all}}} f(\boldsymbol{y}) G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}) d^3 \boldsymbol{y} = f(\boldsymbol{x})$$ よって， $$\int_{V_{\text{all}}} f(\boldsymbol{y}) G(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}) d^3 \boldsymbol{y}$$ はポアソン方程式の解であり，$G(\boldsymbol{x})$ の候補を代入すれば， $$\phi(\boldsymbol{x}) = -\dfrac{1}{4\pi}\int_{V_{\text{all}}} \dfrac{f(\boldsymbol{y}) }{\|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}\|} d^3 \boldsymbol{y}$$ が解であることがわかる。