水平線，地平線までの距離の計算方法と例

（目と）水平線までの距離 $l_1$ は図の赤い線分 $AB$ の長さ。三角形 $ABO$ に三平方の定理を使う。 $OA=R+h$，$OB=R$ なので，

$AB^2=(R+h)^2-R^2=2Rh+h^2$

よって $l_1=\sqrt{2Rh+h^2}$

また，身長 $h$ は地球の半径 $R$ より十分小さいので $h^2$ を無視すると，$l_1\fallingdotseq\sqrt{2Rh}$

（足元と）水平線までの地面をたどった距離 $l_2$ は図の緑の弧の長さ。 中心角を $\theta$ とおくと，$l_2=R\theta$

一方，$\cos\theta=\dfrac{R}{R+h}$ より $\theta=\mathrm{Arccos}\dfrac{R}{R+h}$（注1）

以上二つの式より，$l_2=R\:\mathrm{Arccos}\dfrac{R}{R+h}$

ここからは近似解を求める。 $R\gg h$ であり，$\theta\fallingdotseq 0$ なので $\cos\theta\fallingdotseq 1-\dfrac{\theta^2}{2}$ と近似できる（注2）。

つまり，さきほどの式は $1-\dfrac{\theta^2}{2}\fallingdotseq \dfrac{R}{R+h}$ ，つまり $\theta\fallingdotseq \sqrt{\dfrac{2h}{R+h}}$ となる。さらに，$R+h\fallingdotseq R$ と近似すると，

$l=R\theta\fallingdotseq R\sqrt{\dfrac{2h}{R}}=\sqrt{2Rh}$