微分方程式の例題（東大院2021から）

微分方程式 $$\dfrac{d^2 x}{dt^2} - \dfrac{2}{t^2} x = 0 \quad \cdots \ (\ast)$$ を解く。

$x = t^{\lambda}$ が解であるような $\lambda$ を，式に計算する。

$(\ast)$ に代入すると $$\lambda (\lambda - 1) t^{\lambda-2} - 2 t^{\lambda - 2} = 0$$ である。左辺は $$(\lambda^2 - \lambda - 2) t^{\lambda - 2}$$ となるため，$\lambda = 2,-1$ のとき $x = t^{\lambda}$ が $(\ast)$ の解となる。

$(\ast)$ は2階の微分方程式であることから，解空間は二次元であることがわかり，それゆえ $t^2 , t^{-1}$ が $(\ast)$ の解空間の基底になる。

こうして $(\ast)$ の解は $$x(t) = C_1 t^{-1} + C_2 t^2$$ と表される。

$x = -t$ を代入すると $$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= (-t)'' - \dfrac{2}{t^2} (-t)\\ &= \dfrac{2}{t}\\ &= (\text{右辺}) \end{aligned}$$ となります。

よって $x (t) = -t$ は特殊解である。

上記の議論から解は $$x(t) = C_1 t^{-1} + C_2 t^2 - t$$ と表される。

$$x'(t) = - C_1 t^{-2} + 2C_2 t - 1$$ である。

$x(1) = a$，$x'(1) = b$ を代入すると，連立方程式 $$\begin{cases} C_1 + C_2 - 1 = a\\ -C_1 + 2C_2 - 1 = b \end{cases}$$ を得る。

これを解くと $C_1 = \dfrac{2a-b+1}{3}$，$C_2 = \dfrac{a+b+2}{3}$ を得る。

こうして解は $$x(t) = - \dfrac{2a-b+1}{3} t^{-1} + \dfrac{a+b+2}{3} t^2 - t$$ となる。