三角関数と無理関数の合わさった積分（東大院2021より）

$x^p = t$ と置換すると $p x^{p-1} dx = dt$，$dx = \dfrac{t^{\frac{1-p}{p}}}{p} dt$ となる。

$$\begin{aligned} \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (x^p)}{\sqrt{x}} dx &= \int_0^{\infty} \dfrac{\sin t}{t^{\frac{1}{2p}}} \dfrac{t^{\frac{1-p}{p}}}{p} dt\\ &= \dfrac{1}{p} \int_0^{\infty} \sin t \cdot t^{\frac{1}{2p}-1} dt \end{aligned}$$

ステップ1の計算より求める積分は $$\dfrac{1}{p\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_0^{\infty} t^{\frac{1}{2p}-1} e^{it} dt$$ の虚部である。

上式は $t =is$ とおきなおすことで $$\dfrac{1}{p\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_0^{i\infty} i^{\frac{1}{2p}} s^{\frac{1}{2p}-1} e^{-s} ds$$ となる。

$$\begin{aligned} i^{\frac{1}{2p}} &= \left( \cos \dfrac{\pi}{2} + i \sin \dfrac{\pi}{2} \right)^{\frac{1}{2p}}\\ &= \cos \dfrac{\pi}{4p} + i \sin \dfrac{\pi}{4p} \end{aligned}$$ であることに注目すると，上式の虚部は $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x^p)}{\sqrt{x}} dx\\ &= \dfrac{1}{p\Gamma (\frac{1}{2p})} \sin \dfrac{\pi}{4p}\int_0^{i\infty}s^{\frac{1}{2p}-1} e^{-s} ds \end{aligned}$$ である。

あとは， $$\int_0^{i\infty}s^{\frac{1}{2p}-1} e^{-s} ds$$ を計算すればよい。

積分路を次のようにとる。

このとき求めたい積分は $$-\lim_{R \to \infty} \int_{C_3} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz$$ である。

$C = C_1 + C_2 + C_3$ とおく。

$C$ の内部で $z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z}$ は正則であるため，コーシーの積分定理から $$\oint_C z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz = 0$$ である。

ゆえに $$\begin{aligned} &- \int_{C_3} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz\\ &= \int_{C_1} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz + \int_{C_2} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz \end{aligned}$$ を得る。

• $C_1$ での積分 $$\begin{aligned} \lim_{R \to \infty} \int_{C_1} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz &= \int_{0}^{\infty} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz\\ &= \Gamma \left( \dfrac{1}{2p} \right) \end{aligned}$$

• $C_2$ での積分 $$\left| \int_{C_2} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz \right| \leqq \int_{C_2} \left| z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} \right| dz$$ $z = R e^{i\theta}$ とおくと， $$\begin{aligned} &\int_{C_2} \left| z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} \right| dz\\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| R^{\frac{1}{2p}-1} e^{\left( \frac{1}{2p}-1 \right) i \theta} e^{-R\cos \theta - iR\sin \theta} \right| d\theta\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} R^{\frac{1}{2p}-1} e^{-R\cos \theta} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{2} R^{\frac{1}{2p}-1} e^{-R\cos \theta} \end{aligned}$$ となる。$p > \dfrac{1}{2}$ より $0 < \dfrac{1}{2p} - 1 < 1$ であるため $$\lim_{R \to \infty} R^{\frac{1}{2p}-1} = 0 \\ \lim_{R \to \infty} e^{-R\cos \theta} = 0$$ となる。よって $$\lim_{R \to \infty} \int_{C_2} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz = 0$$ である。

以上より $$\begin{aligned} &\int_0^{i\infty}s^{\frac{1}{2p}-1} e^{-s} dt \\ &= \lim_{R \to \infty} \left( \int_{C_1} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz + \int_{C_2} z^{\frac{1}{2p}-1} e^{-z} dz \right)\\ &= \Gamma \left( \dfrac{1}{2p} \right) + 0 \end{aligned}$$ となる。

こうして $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x^p)}{\sqrt{x}} dx\\ &= \dfrac{1}{p \Gamma (\frac{1}{2p})} \sin \dfrac{\pi}{4p} \int_0^{i\infty}s^{\frac{1}{2p}-1} e^{-s} ds\\ &= \dfrac{1}{p \Gamma (\frac{1}{2p})} \sin \dfrac{\pi}{4p} \Gamma \left( \dfrac{1}{2p} \right)\\ &= \dfrac{1}{p} \sin \dfrac{\pi}{4p} \end{aligned}$$ となる。