断熱変化におけるポアソンの式の導出

以下，$P$ は圧力，$V$ は体積，$n$ は気体のモル数，$R$ は気体定数，$T$ は絶対温度とします。

この関係式は断熱変化でなくても理想気体なら常に成り立ちます。

余談

一般に（全微分可能な関数 $f$ について）$z=f(x,y)$ の微小変化は，$x$ の微小変化 $dx$ と $y$ の微小変化 $dy$ を使って，

$dz=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$

と書けます（全微分）。

今回の場合，$T=\dfrac{PV}{nR}$ であり，$T$ を $P,V$ の関数と見ると，

$dT=\dfrac{\partial T}{\partial P}dP+\dfrac{\partial T}{\partial V}dV\\ =\dfrac{V}{nR}dP+\dfrac{P}{nR}dV$

となり，上の結果が得られます。

以下，$C_V$ は定積モル比熱，$C_P$ は定圧モル比熱とします。

$\gamma=\dfrac{C_R}{C_V}=\dfrac{C_V+R}{C_V}$ の値は分子の構造によって変わります。多くの気体について，常温では $C_V$ は（並進運動の自由度＋回転運動の自由度）$\times\dfrac{R}{2}$ に近い値になることが実験的に知られています。

単原子分子理想気体

自由度は3（並進3），$C_V=\dfrac{3}{2}R$ ，$\gamma=\dfrac{5}{3}$

二原子分子理想気体

自由度は6（並進3，回転2，振動1），$C_V=\dfrac{5}{2}R$ ，$\gamma=\dfrac{7}{5}$

三原子分子理想気体（直線形）

自由度は9（並進3，回転2，振動4），$C_V=\dfrac{5}{2}R$ ，$\gamma=\dfrac{7}{5}$

三原子分子理想気体（直線形でない）

自由度は9（並進3，回転3，振動3），$C_V=3R$ ，$\gamma=\dfrac{4}{3}$

※振動の自由度については，いくつか考え方があり，自分も完全には理解しておりません，すみません。本節「比熱比と自由度」については，あくまでご参考程度にしていただければと思います。