cosxの微分公式のいろいろな証明

$$\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}\\ &=\cos x\cdot 0 -\sin x\cdot 1\\ &=-\sin x \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{-2 \sin (x+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} - \dfrac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \sin (x+\frac{h}{2})\\ &= -\sin x \end{aligned}$$

$A(\cos x,\sin x),\:B(\cos (x+h),\sin(x+h))$ とおく。

上図から $$\dfrac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=\dfrac{\mathrm{AB} \cos\alpha}{h}$$ を得る。

三角形 $\mathrm{OAB}$ に余弦定理を用いることで $$\begin{aligned} \mathrm{AB}^2 &= \mathrm{OA}^2 + \mathrm{OB}^2 - 2 \; \mathrm{OA} \cdot \mathrm{OB} \cdot \cos \angle \mathrm{AOB}\\ &= 1 + 1 -2 \cos h\\ &=2 (1-\cos h)\\ \mathrm{AB} &= \sqrt{2(1-\cos h)} \end{aligned}$$ を得る。こうして $\mathrm{AB}$ が $h$ によって表された。

また，$h$ が $0$ に近いとき，$\mathrm{AB}$ は $\mathrm{A}$ における単位円の接線に近づくので，$\displaystyle \lim_{h \to 0} \alpha = x + \dfrac{\pi}{2}$ を得る。

よって， $$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{AB} \cos \alpha}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{2(1-\cos h)}}{h} \cos \alpha\\ &= \lim_{h \to 0} \sqrt{\dfrac{2(1-\cos h)}{h^2}} \cos \alpha\\ &= \cos \left( x+\dfrac{\pi}{2} \right)\\ &= - \sin x \end{aligned}$$ を得る。

$(\cos x)'=(\sin (x+\frac{\pi}{2}))'$

ここで，サインの微分がコサインであることと，合成関数の微分公式より，

$(\sin (x+\frac{\pi}{2}))'=\cos (x+\frac{\pi}{2})$

こうして

$\cos (x+\frac{\pi}{2})=-\sin x$

を得る。

$\sin^2x+\cos^2x=1$ の両辺を $x$ で微分する（合成関数の微分公式を用いる）と，

$$2\sin x\cos x+2\cos x(\cos x)'=0$$

よって，$\cos x\neq 0$ なる $x$ では $(\cos x)'=-\sin x$ である。

導関数が連続関数という仮定のもと，$\cos x= 0$ なる点でも $(\cos x)'=-\sin x$ が成立する。

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ の両辺を微分すると，

$$2\cos 2x=2\sin x(\cos x)'+2\cos^2 x$$

ただし，左辺では合成関数の微分，右辺では積の微分公式を用いた。両辺を2で割り，倍角の公式を用いると，

$$2\cos^2x-1=\sin x(\cos x)'+\cos^2x$$

整理すると，

$$-\sin^2x=\sin x(\cos x)'$$ となる。

よって，$\sin x\neq 0$ なる $x$ では $(\cos x)'=-\sin x$

導関数が連続関数という仮定のもと，$\sin x= 0$ なる点でも $(\cos x)'=-\sin x$ が成立する。