商の微分公式の証明と例題

逆数の微分公式より $y'=-\dfrac{(\log x)'}{(\log x)^2}=-\dfrac{1}{x(\log x)^2}$

ただし，$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ であることを使った。

$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分を定義に従って計算する。

$$\begin{aligned} \left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}' &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x)-f(x+h)}{hf(x)f(x+h)}\\ &= \lim_{h\to 0}-\dfrac{1}{f(x)f(x+h)}\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=-\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2} \end{aligned}$$

$y=\dfrac{1}{f(x)}$ は，$y=\dfrac{1}{u}$ と $u=f(x)$ の合成関数として表せるので，合成関数の微分公式より $\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=\dfrac{-1}{f(x)^2}\cdot f'(x)$ を得る。

商の微分公式より

$$\begin{aligned} y' &= \dfrac{(\cos x)'\sin x-(\sin x)'\cos x}{\sin^2x}\\ &= \dfrac{-\sin^2x -\cos^2x}{\sin^2x}=-\dfrac{1}{\sin^2x} \end{aligned}$$

$\dfrac{g(x)}{f(x)}$ を，$g(x)$ と $\dfrac{1}{f(x)}$ の積と見ることで，積の微分公式が使える：

$$\begin{aligned} \left\{\dfrac{g(x)}{f(x)}\right\}' &= g'(x)\dfrac{1}{f(x)}-g(x)\dfrac{f'(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}\\ &= \dfrac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{\left\{f(x)\right\}^2} \end{aligned}$$