商の微分公式の証明と例題

逆数の微分公式より $y'=-\dfrac{(\log x)'}{(\log x)^2}=-\dfrac{1}{x(\log x)^2}$

ただし，$(\log x)=\dfrac{1}{x}$ であることを使った。

$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分を定義に従って計算する。

$\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x)-f(x+h)}{hf(x)f(x+h)}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}-\dfrac{1}{f(x)f(x+h)}\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =-\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2}$

$y=\dfrac{1}{f(x)}$ は，$y=\dfrac{1}{u}$ と $u=f(x)$ の合成関数として表せるので，合成関数の微分公式より $\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=\dfrac{-1}{f(x)^2}\cdot f'(x)$ を得る。

商の微分公式より

$y'=\dfrac{(\cos x)'\sin x-(\sin x)'\cos x}{\sin^2x}\\ =\dfrac{-\sin^2x -\cos^2x}{\sin^2x}=-\dfrac{1}{\sin^2x}$

$\dfrac{g(x)}{f(x)}$ を，$g(x)$ と $\dfrac{1}{f(x)}$ の積と見ることで，積の微分公式が使える：

$\left\{\dfrac{g(x)}{f(x)}\right\}'=g'(x)\dfrac{1}{f(x)}-g(x)\dfrac{f'(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}\\ =\dfrac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}$