ヒポクラテスの定理とその証明

3つの半円の面積を $S_1,\:S_2,\:S_3$ とおくと求める面積は，

$S_1+S_2-S_3+$ （三角形 $ABC$ の面積）

である，また，三平方の定理より $BC=2\sqrt{3}$ なので

$S_1=\dfrac{\pi}{2},\:S_2=\dfrac{3\pi}{2},\:S_3=2\pi$

よって答えは，

$\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}-2\pi+(2\times 2\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2})=2\sqrt{3}$

さきほどの解答と全く同様に

黄＝ $S_1+S_2-S_3+$ 青

なので $S_1+S_2=S_3$ が成立することを証明すればOK。

これは直角三角形 $ABC$ において三平方の定理が成立することから分かる：

$AB^2+BC^2=CA^2$

$\to S_1+S_2=S_3$ （半円の面積は直径の二乗に比例する）