伸開線（インボリュート）と縮閉線（エボリュート）の意味と計算例

$A(r\cos\theta,r\sin\theta)$ までほどけたとき，糸の端点の位置を求める。

• ほどけた糸の長さは $(r,0)$ からの円弧の長さなので $r\theta$
• $A$ における単位接線ベクトルは $(\sin\theta,-\cos\theta)$

よって，糸の端点の位置は，
$x=r\cos\theta+r\theta\sin\theta$
$y=r\sin\theta-r\theta\cos\theta$

まず，1階微分と2階微分を計算しておく。

• $x'=-r\sin\theta+r\sin\theta+r\theta\cos\theta=r\theta\cos\theta$
• $y'=r\cos\theta-r\cos\theta+r\theta\sin\theta=r\theta\sin\theta$
• $x''=r\cos\theta-r\theta\sin\theta$
• $y''=r\sin\theta+r\theta\cos\theta$

1. 曲率半径の公式より，
   $R(\theta)=\dfrac{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}{|x'y''-y'x''|}\\ =\dfrac{r^3\theta^3}{r^2\theta^2}\\ =r\theta$

2. 法線ベクトルは $\overrightarrow{n}(\theta)=(-\sin\theta,\cos\theta)$

3. 曲率円の中心は，
   $X(\theta)=x(\theta)+(r\theta)(-\sin\theta)=r\cos\theta$
   $Y(\theta)=y(\theta)+(r\theta)\cos\theta=r\sin\theta$

これは，中心が原点で半径が $r$ の円である。

$y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ において，

• 曲率半径は $R(t)=\dfrac{(1+4t^2)^{\frac{3}{2}}}{2}$

• 接線の傾きが $2t$ なので法線の傾きは $-\dfrac{1}{2t}$ である。よって曲率円の中心に向かう単位法線ベクトルは，
  $\overrightarrow{n}(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4t^2}}}\left(-1,\dfrac{1}{2t}\right)\\ =\dfrac{1}{\sqrt{1+4t^2}}(-2t,1)$

よって，$R(t)\overrightarrow{n}(t)=(1+4t^2)\left(-t,\dfrac{1}{2}\right)$

よって，曲率円の中心は，
$X(t)=t+(1+4t^2)(-t)=-4t^3$
$Y(t)=t^2+\dfrac{1}{2}(1+4t^2)=3t^2+\dfrac{1}{2}$