楕円・双曲線の媒介変数表示の3通りの方法

1は三角関数を用いる方法です。$\theta$ が $0\leq\theta< 2\pi$ を動くと，円周上の点全体を動きます。単位円による三角関数の定義と合わせて理解しておきましょう。→三角関数の３通りの定義とメリットデメリット

2については，

• $(1-t^2)^2+(2t)^2=(1+t^2)^2$ が成立することから，$\left(r\cdot\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\:r\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}\right)$ が円周上の点であることがわかります。
• 余談ですが，この式はピタゴラス数を求める式と似ています。→ピタゴラス数の求め方とその証明
• $t$ が実数全体を動くとき，円周上の $(-r,0)$ 以外の点全体を動きます。
• 2は，1に対して $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ と置換することで得られます。この置換については，記事の後半で補足します。

3は，双曲線関数 $\cosh\phi=\dfrac{e^{\phi}+e^{-\phi}}{2},\:\sinh\phi=\dfrac{e^{\phi}-e^{-\phi}}{2},\:\tanh\phi=\dfrac{\sinh\phi}{\cosh\phi}$ を用いた媒介変数表示です。→双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ
$\phi$ が実数全体を動くとき，円の $x>0$ の部分を動きます。

円の媒介変数表示が理解できていれば，楕円もほとんど同じです。

• 1については，$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ と $\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=1$ を比較して，$\dfrac{x}{a}=\cos\theta,\:\dfrac{y}{b}=\sin\theta$ とおけばうまくいきそう，とわかります。この媒介変数表示は，例えば，離心率の意味と関連する計算で活躍します。
• 2は，1に対して $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ と置換すると得られます。$t$ が実数全体を動くとき，楕円上の $(-a,0)$ 以外の点全体を動きます。

• 1については，$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ と $1+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2=\left(\dfrac{x}{a}\right)^2$ を比較して，$\dfrac{x}{a}=\dfrac{1}{\cos\theta},\:\dfrac{y}{b}=\tan\theta$ とおけばうまくいきそう，とわかります。
• 2は，1に対して $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ と置換すると得られます。$t$ が $\pm 1$ を除く実数全体を動くとき，双曲線上の $(-a,0)$ 以外の点全体を動きます。
• 双曲線の1と楕円の3は似ています。双曲線の3と楕円の1は似ています！

途中で出てきた $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ という置換をワイエルシュトラス置換と言います。

• ワイエルシュトラス置換は，三角関数の有理式の積分で大活躍します。→三角関数の有理式の積分
• $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと，$\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2},\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ になります。
• $\theta$ が $-\pi<\theta<\pi$ の範囲を動くとき，$t$ は実数全体を動きます。