対数平均に関する不等式の証明

各辺を $y>0$ で割ると，示すべき不等式は $$\sqrt{\dfrac{x}{y}}<\dfrac{\frac{x}{y}-1}{\log(\frac{x}{y})}<\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{y}+1\right)$$ つまり，$1$ より大きい任意の実数 $t$ に対して， $$\sqrt{t}<\dfrac{t-1}{\log t}<\dfrac{1}{2}(t+1)$$ を示せばよい。

まず，右側の不等式を証明する。分母を払った両辺の差を，$$f(t)=(t+1)\log t-2(t-1)$$ とおく。微分すると，
$f'(t)=\log t+1+\dfrac{1}{t}-2\\ =-\log\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t}-1$
となる。よって，$t>1$ で $f'(t)>0$ である（→注）ので，$f(1)=0$ と合わせて右側の不等式が示された。

赤字の左側の不等式の分母を払った両辺の差を $$g(t)=t-1-\sqrt{t}\log t$$ とおく。微分すると，
$g'(t)=1-\dfrac{1}{\sqrt{t}}-\dfrac{\log t}{2\sqrt{t}}\\ =\dfrac{1}{\sqrt{t}}(\sqrt{t}-1-\log\sqrt{t})$
となる。よって，$t>1$ で $f'(t)>0$ である（右側と同じく $\log x\leq x-1$ という不等式からわかる！）ので，$f(1)=0$ と合わせて左側の不等式が示された。

$x=e^X,y=e^Y$ とおくと，示すべき不等式は， $$e^{\frac{X+Y}{2}}<\dfrac{e^X-e^Y}{X-Y}<\dfrac{e^X+e^Y}{2}$$

（$X-Y>0$ の場合を考えていることに注意）

• 左側の不等式は， $$\dfrac{X-Y}{2}<\dfrac{e^{\frac{X-Y}{2}}-e^{\frac{Y-X}{2}}}{2}$$と変形できる。
• 右側の不等式は， $$\dfrac{e^{\frac{X-Y}{2}}-e^{\frac{Y-X}{2}}}{e^{\frac{X-Y}{2}}+e^{\frac{Y-X}{2}}}<\dfrac{X-Y}{2}$$と変形できる。

いずれも，方針に記載した赤字の不等式で $A=\dfrac{X-Y}{2}$ と置くとわかる。