べき関数（y=x^n）の微分公式の３通りの証明

微分の定義より，$x^n$ の導関数は，

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}$

この分子を二項定理を用いて展開すると，

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{nhx^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2h^2x^{n-2}+\cdots +h^n}{h}$

$\displaystyle\lim_{h\to 0}(nx^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2hx^{n-2}+\cdots +h^{n-1}) =nx^{n-1}$

を得る（第二項以降は $h\to 0$ で全部消える）。

$n$ に関する数学的帰納法で証明する。

• $n=1$ のとき，$x$ の微分は $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)-x}{h}=1$ となり公式は正しい

• $n=k$ のとき正しい，つまり $(x^k)'=kx^{k-1}$ と仮定すると，積の微分公式より
  $(x^{k+1})'=(x\cdot x^k)'$ $=1\cdot x^k+x\cdot (kx^{k-1}) =(k+1)x^k$ となり $n=k+1$ のときも正しい。

・　$x > 0$ の範囲について

$y=x^n$ の両辺の対数を取ると，$\log y=n\log x$

両辺を $x$ で微分すると，$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{n}{x}$

よって，$y'=\dfrac{ny}{x}=nx^{n-1}$

・ $x <0$ の範囲について

$n$ が偶数のとき，$f'(x)$ は奇関数。

$n$ が奇数のとき，$f'(x)$ は偶関数（定義からも分かるし，グラフの形状からも分かる）である。これと $x > 0$ の場合の結果よりOK。

・ $x=0$ について

微分係数の定義より，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{h^{n}}{h}= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1 \end{cases}$

となり，$y'=nx^{n-1}$ を満たしている。

微分の定義より，$x^n$ の導関数は，

$\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}$

ここで，分子を因数分解すると，

$(x+h)^n-x^n\\ =h\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+\dots +x^{n-1}\}$

となる。

これを $h$ で割って $h\to 0$ とすると，各項が $x^{n-1}$ に収束する。また，項の数は $n$ である。よって，求める導関数は $nx^{n-1}$ となる。