ベクトルの微分

更新 2023/02/24

「ベクトルの微分」「ベクトルで微分」について，以下の3種類の意味と関連する公式を紹介します。
ベクトルをスカラーで微分したもの dadt\dfrac{d\boldsymbol{a}}{dt}dtda​
スカラーをベクトルで微分したもの ∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}∂x∂f​
ベクトルをベクトルで微分したもの ∂a∂x\dfrac{\partial \boldsymbol{a}}{\partial \boldsymbol{x}}∂x∂a​
力学や電磁気学などの物理や，機械学習で重要になります。

ベクトルをスカラーで微分

定義

スカラー $t$ を変数とするベクトル $\boldsymbol{a}$ の微分を $\dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\boldsymbol{a} (t+h) - \boldsymbol{a} (t)}{h}$ と定義する。計算結果はベクトル。

右辺の分子はベクトルの差なのでベクトルです。つまり，右辺はベクトルです。

例えば， $\boldsymbol{a} (t) = (a_1 (t) , a_2 (t) , a_3 (t))$ のように3次元のベクトルの場合，

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} &= \lim_{h \to 0} \dfrac{\boldsymbol{a} (t+h) - \boldsymbol{a} (t)}{h}\\ &= \lim_{h \to 0} \begin{pmatrix} \dfrac{a_1 (t+h) - a_1 (t)}{h}\\ \dfrac{a_2 (t+h) - a_2 (t)}{h}\\ \dfrac{a_3 (t+h) - a_3 (t)}{h} \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_1' (t)\\ a_2' (t)\\ a_3' (t) \end{pmatrix} \end{aligned}$ となります。成分ごとに普通に微分すれば良いわけです。 $n$ 次元ベクトルの場合も同様です。

微分公式

「ベクトルのスカラー微分」に関する公式

$\boldsymbol{a} , \boldsymbol{b}$ は各成分が $t$ を変数とする $n$ 次元ベクトル， $f$ は $t$ を変数とするスカラー関数とする。

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) &= \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} + \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b}\\ \dfrac{d}{dt} f \boldsymbol{a} &= \dfrac{df}{dt} \boldsymbol{a} + f \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a}\\ \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) &=\dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b}\\ \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) &= \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b} \end{aligned}$

ただし，最後の式（外積を含む式）では $n=3$ とします。

証明は，ひたすら成分計算するだけです。

証明

$\boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}$ ， $\boldsymbol{b} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}$ とおく。

1番目の式は，

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) &= \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\ a_2 + b_2\\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_1' + b_1'\\ a_2' + b_2'\\ a_3' + b_3' \end{pmatrix}\\ &= \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} + \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b} \end{aligned}$

2番目の式は，

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} f \boldsymbol{a} &= \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} f a_1\\ f a_2\\ f a_3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} f' a_1 + f a_1'\\ f' a_2 + f a_2'\\ f' a_3 + f a_3' \end{pmatrix}\\ &= f' a + f \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} \end{aligned}$

3番目の式は，

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) &= \dfrac{d}{dt} (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)\\ &= a_1' b_1 + a_2' b_2 + a_3' b_3\\ &\quad\quad +a_1 b_1' + a_2 b_2' + a_3 b_3'\\ &= \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b} \end{aligned}$

4番目の式は，

$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) &= \dfrac{d}{dt} \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2\\ a_3 b_1 - a_1 b_3\\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} a_2' b_3 - a_3' b_2 + a_2 b_3' - a_3 b_2'\\ a_3' b_1 - a_1' b_3 + a_3 b_1' - a_1 b_3'\\ a_1' b_2 - a_2' b_1 + a_1 b_2' - a_2 b_1' \end{pmatrix}\\ &= \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \dfrac{d}{dt} \boldsymbol{b} \end{aligned}$

スカラーをベクトルで微分

定義

$n$ 変数関数 $f(x_1 , x_2 , ... , x_n)$ をベクトル $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$ で微分したものを各変数による偏微分を並べたベクトルで定義する。すなわち， $\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}} = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x_1} , \dfrac{\partial f}{\partial x_2} , \cdots , \dfrac{\partial f}{\partial x_n} \right)$

$\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}$ のことを， $\nabla f$ と書くこともあります。 $\nabla$ はナブラ演算子です。ナブラエフなどと読みます。

$\dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}$ は勾配ベクトルとも呼ばれます。→勾配ベクトルの意味と例題

また，ベクトル場における発散（div）と回転（rot）の定義・意味もどうぞ。

微分公式

スカラーのベクトルでの微分公式

$\boldsymbol{a}$ は $\boldsymbol{x}$ に依存しない， $\boldsymbol{x}$ と同じ次元の定数ベクトルとする。このとき，

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{x}) &= \boldsymbol{a}\\ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{a}) &= \boldsymbol{a}\\ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x}) &= 2\boldsymbol{x}\\ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} {}^t \boldsymbol{x} A \boldsymbol{x} &= (A + {}^t A) \boldsymbol{x}\\ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} {}^t (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a})(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}) &= 2 (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}) \end{aligned}$

さきほどと同様に成分計算で証明できます。やってみてください。

ベクトルのベクトルでの微分

ベクトルをベクトルで微分した導関数は，スカラーの微分を並べた行列として定義します。すなわち $\boldsymbol{a} = (a_1 , a_2 , \cdots , a_n)$ を $\boldsymbol{x} = (x_1 , x_2 , \cdots , x_n)$ で微分した導関数を $\dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} \boldsymbol{a} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial a_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial a_i}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial a_n}{\partial x_1}\\ \vdots & \ddots & & & \vdots\\ \dfrac{\partial a_1}{\partial x_i} & \cdots & \dfrac{\partial a_i}{\partial x_i} & \cdots & \dfrac{\partial a_n}{\partial x_i}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial a_1}{\partial x_n} & \cdots & \dfrac{\partial a_i}{\partial x_n} & \cdots & \dfrac{\partial a_n}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix}$ と定義します。

微分公式

ベクトルのベクトルでの微分公式

$\boldsymbol{x}$ は $n$ 次元ベクトル， $A$ は $n \times n$ 正方行列とする。

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} \boldsymbol{x} &= I_n\\ \dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} A \boldsymbol{x} &= {}^t A \end{aligned}$

ベクトルを入力として，ベクトル値を返す関数 $f(\boldsymbol{x})$ ， $g(\boldsymbol{y})$ に対して $\dfrac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}} g(f(\boldsymbol{x})) = \dfrac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}} \dfrac{\partial g}{\partial \boldsymbol{y}}$

混同しやすいので，3種類のうちどれを扱っているのかゆっくり考えましょう。