定義
スカラー t を変数とするベクトル a の微分を
dtda=h→0limha(t+h)−a(t)
と定義する。計算結果はベクトル。
右辺の分子はベクトルの差なのでベクトルです。つまり,右辺はベクトルです。
例えば,a(t)=(a1(t),a2(t),a3(t)) のように3次元のベクトルの場合,
dtda=h→0limha(t+h)−a(t)=h→0lim⎝⎛ha1(t+h)−a1(t)ha2(t+h)−a2(t)ha3(t+h)−a3(t)⎠⎞=⎝⎛a1′(t)a2′(t)a3′(t)⎠⎞
となります。成分ごとに普通に微分すれば良いわけです。n 次元ベクトルの場合も同様です。
微分公式
「ベクトルのスカラー微分」に関する公式
a,b は各成分が t を変数とする n 次元ベクトル,f は t を変数とするスカラー関数とする。
dtd(a+b)dtdfadtd(a⋅b)dtd(a×b)=dtda+dtdb=dtdfa+fdtda=dtda⋅b+a⋅dtdb=dtda×b+a×dtdb
ただし,最後の式(外積を含む式)では n=3 とします。
証明は,ひたすら成分計算するだけです。
証明
a=⎝⎛a1a2a3⎠⎞,b=⎝⎛b1b2b3⎠⎞ とおく。
1番目の式は,
dtd(a+b)=dtd⎝⎛a1+b1a2+b2a3+b3⎠⎞=⎝⎛a1′+b1′a2′+b2′a3′+b3′⎠⎞=dtda+dtdb
2番目の式は,
dtdfa=dtd⎝⎛fa1fa2fa3⎠⎞=⎝⎛f′a1+fa1′f′a2+fa2′f′a3+fa3′⎠⎞=f′a+fdtda
3番目の式は,
dtd(a⋅b)=dtd(a1b1+a2b2+a3b3)=a1′b1+a2′b2+a3′b3+a1b1′+a2b2′+a3b3′=dtda⋅b+a⋅dtdb
4番目の式は,
dtd(a×b)=dtd⎝⎛a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎠⎞=⎝⎛a2′b3−a3′b2+a2b3′−a3b2′a3′b1−a1′b3+a3b1′−a1b3′a1′b2−a2′b1+a1b2′−a2b1′⎠⎞=dtda×b+a×dtdb