置換積分で簡単になる計算例

1. $x = \tan \theta$ と置換する。
   このとき $dx = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ となる。 $$\begin{aligned} \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{1+\tan^2 \theta} \dfrac{d\theta}{\cos^2 \theta}\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned}$$

2. $x = \sin \theta$ と置換する。
   このとき $dx = \cos \theta d\theta$ となる。 $$\begin{aligned} \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos \theta d\theta}{\sqrt{1-\sin^2 \theta}}\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$

$\tan \dfrac{x}{2} = t$ と置換すると $\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$，$dx = \dfrac{2}{1+t^2} dt$ となるため $$\begin{aligned} \int \dfrac{dx}{\sin x} &= \int \dfrac{1+t^2}{2t} \cdot \dfrac{2}{1+t^2} dx\\ &=\dfrac{1}{t} dt\\ &= \log |t|\\ &= \log \left| \tan \dfrac{x}{2} \right| \end{aligned}$$

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \theta}{\sin \theta + \cos \theta} d\theta$$ とおく。

$\theta = \dfrac{\pi}{2} - \phi$ と置換すると， $$\begin{aligned} I &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} (-d\theta)\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} d\theta \end{aligned}$$ となる。

よって $$\begin{aligned} 2I &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} d\theta\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$ である。こうして $I = \dfrac{\pi}{4}$ を得る。

1. $\log x = t$ と置換すると $x = e^t$ となる。また $dx = e^t dt$ となる。よって $$\begin{aligned} \int_{\frac{1}{2}}^2 \dfrac{\log x}{x^2 + 1} dx &= \int_{-\log 2}^{\log 2} \dfrac{t}{e^{2t}+1} e^t dt\\ &= \int_{-\log 2}^{\log 2} \dfrac{t}{e^{t}+e^{-t}} dt\\ \end{aligned}$$ となる。ここで $e^t + e^{-t}$ は偶関数で $t$ は奇関数であるため， $$\int_{-\log 2}^{\log 2} \dfrac{t}{e^{t}+e^{-t}} dt = 0$$ となる。