三角関数に関する置換積分3パターン

$\sin \theta = t$ と置換すると $\cos \theta d\theta = dt$ であるため $$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos \theta d\theta &= \int_0^1 t^2 dt\\ &= \dfrac{1}{3} \end{aligned}$$ と計算される。

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ に注目すると， $$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{\cos \theta} d\theta &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\cos \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\cos \theta}{1-\sin^2 \theta} d\theta \end{aligned}$$ と変形される。ここで $\sin \theta = t$ と置換すると $$\begin{aligned} (\text{式}) &= \int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{dt}{1-t^2}\\ &= \int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{1+t} + \dfrac{1}{1-t} \right) dt\\ &= \dfrac{1}{2} \Big[ \log |1+t| - \log |1-t| \Big]_0^{\frac{1}{2}}\\ &= \dfrac{1}{2} \left( \log \dfrac{3}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \left( \log \dfrac{1}{2} \right)\\ &= \dfrac{1}{2} \log 3 \end{aligned}$$ と計算される。

$x = \tan \theta$ と置換する。このとき $dx = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$ で，積分区間は $0$ から $\dfrac{\pi}{4}$ となる。 $$\begin{aligned} \int_0^1 \dfrac{1}{x^2 + 1}dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \theta} \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d\theta\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned}$$

$x = \sin \theta$ と置換する。このとき $dx = \cos \theta d\theta$ で，積分区間は $0$ から $\dfrac{\pi}{6}$ となる。 $$\begin{aligned} \int_0^{\frac{1}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \cos \theta d \theta\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$$

$t = \tan \dfrac{\theta}{2}$ と置換する。 $$\begin{aligned} \tan \dfrac{\pi}{12} &= \tan \left( \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} \right)\\ &= \dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\\ &= 2 - \sqrt{3} \end{aligned}$$ であるため，積分区間は $0$ から $2-\sqrt{3}$ である。
また $d\theta = \dfrac{2}{1+t^2} dt$ である。
よって $$\begin{aligned} &\int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{\cos \theta} d\theta\\ &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1+t^2}{1-t^2} \dfrac{2dt}{1+t^2}\\ &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{2}{1-t^2} dt\\ &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \left( \dfrac{1}{1+t} + \dfrac{1}{1-t} \right) dt\\ &= \Big[ \log |1+x| - \log |1-x| \Big]_0^{2-\sqrt{3}}\\ &= \log (3-\sqrt{3}) - \log (\sqrt{3}-1)\\ &= \dfrac{1}{2} \log 3 \end{aligned}$$ となる。

同じく $t = \tan \dfrac{\theta}{2}$ とおくと $$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{d\theta}{1+\cos \theta} &= \int_0^1 \dfrac{1}{1+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} dt\\ &= \int_0^1 \dfrac{2}{(1+t^2) + (1-t^2)} dt\\ &= \int_0^1 dt\\ &= 1 \end{aligned}$$ となる。