フランダースの不等式とその証明

示すべき不等式を，左辺のみが変数になるように変形する：

$\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{ABC}\leq \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3$

この左辺の対数を取ると，

$\log \dfrac{\sin A}{A}+\log \dfrac{\sin B}{B}+\log \dfrac{\sin C}{C}$

となることに注意して，$f(x)=\log\dfrac{\sin x}{x}\:(0 < x<\pi)$ とおくと，

$f'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{1}{x}$

$f''(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}+\dfrac{1}{x^2} < 0$

なので，$f(x)$ は上に凸である。

よって，イェンゼンの不等式より，

$f(A)+f(B)+f(C)\\ \leq 3f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\ =\log \left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3$

となり，目標の不等式を得る。

$f(A,B,C)=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{ABC}$

$(0 < A,B,C <\pi\:)$

とおく。$f$ は連続微分可能。

$A=B=C$ のとき $f=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2\pi}\right)^3$ となる。

また，$f$ が極値を取るのが $A=B=C$ の場合だけであることがラグランジュの未定乗数法を用いれば分かる。

実際，$g(A,B,C)=A+B+C-\pi$，$L=f-\lambda g$ とおくと，$\dfrac{\partial L}{\partial A}=\dfrac{\partial L}{\partial B}$ から $\dfrac{\tan A}{A}=\dfrac{\tan B}{B}$ が分かる。そこから $A=B$ が分かる。

よって，$f$ は $A=B=C$ で最小または最大となる。他の適当な（なんでもよい）1点を代入することにより「最小」ではなく「最大」であることが分かる。