アダマールの不等式

$H=A^{\dagger}A$ とおくと，$H$ は半正定値エルミート行列であり，$i$ 番目の対角成分は $A$ の $i$ 列目の長さの2乗 $c_i^2$ になる。

よって，定理1より $\det H\leq c_1^2c_2^2\dots c_n^2$

これと $\det H=\det A^{\dagger}\det A=|\det A|^2$ よりアダマールの不等式が成立。

半正定値エルミート行列 $H$ の $ij$ 成分を $h_{ij}$ と書く。

• $H$ の対角成分がすべて正の場合
  「各 $i$ について $i$ 列目を $h_{ii}$ で割った行列」を $H'$ とすると，$H'$ の対角成分は $1$ である。よって定理2より $\det H'\leq 1$
  一方，$i$ 列目を $h_{ii}$ で割ると行列式は $\dfrac{1}{h_{ii}}$ 倍されるので， $$\dfrac{1}{h_{11}h_{22}\cdots h_{nn}}\det H=\det H'$$ 以上より，$\det H\leq H$の対角成分の積

• $h_{ii}=0$ となる $i$ が存在する場合
  第 $i$ 成分が $1$ でそれ以外が $0$ のベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して，$\overrightarrow{x}^{\dagger}Hx=0$ となる。よって，$H$ の最小固有値は $0$ となる。「行列式＝固有値の積」より $\det H=0$ となるので定理1は成立。

$H'$ の固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ とおく。以下の3つの式から $\det H'\leq 1$ が成立する。

• $\det H'=\lambda_1\times\cdots\times\lambda_n$
• 相加相乗平均の不等式より，
  $\sqrt[n]{\lambda_1\times\cdots\times\lambda_n}\leq\dfrac{\lambda_1+\cdots +\lambda_n}{n}$
• 行列のトレースの性質より，
  $\lambda_1+\cdots +\lambda_n=\mathrm{tr}(H')=n$