アダマール行列の定義と性質

アダマール行列の定義より，$HH^{\top}=nI$ （$I$ は単位行列）

よって（積の行列式は行列式の積なので），

$\det H\det H^{\top}=n^n$

また，$\det H^{\top}=\det H$

（→転置行列の意味・重要な7つの性質と証明の性質2）

なので，

$(\det H)^2=n^n$

アダマール行列の定義より，$HH^{\top}=nI$ （$I$ は単位行列）

よって，$H$ の逆行列は $\dfrac{1}{n}H^{\top}$ となる。

よって，$\dfrac{1}{n}H^{\top}H=I$

$H^{\top} H=nI$

これは $H$ の各列が互いに直交することを示している。

$H$ のある列を $-1$ 倍しても行ベクトルの直交性には影響を与えない。よって，$H$ の各列について適切に $\pm 1$ 倍することで，一行目が全て $1$ であるアダマール行列 $H'$ を作ることができる。

また，列を交換しても行ベクトルの直交性には影響を与えないので，2行目が $1$ のものを左に集める。さらに，その中でも $3$ 行目が $1$ のものを左に集める。

4つのブロックのサイズを $a,b,c,d$ とおく。

1行目と2行目の直交性から $a+b=c+d$

1行目と3行目の直交性から $a+c=b+d$

2行目と3行目の直交性から $a+d=b+c$

以上から $a=b=c=d$ となる。

よって，$H'$ のサイズが $4$ の倍数なので $H$ のサイズも $4$ の倍数である。