Ky Fanの不等式

$n=2$ の場合の Ky Fanの不等式は，

$$\dfrac{\sqrt{x_1x_2}}{\sqrt{(1-x_1)(1-x_2)}}\leq\dfrac{x_1+x_2}{(1-x_1)+(1-x_2)}$$

両辺は $0$ 以上なので，2乗した以下を示せばよい。 $$\dfrac{x_1x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}\leq\dfrac{(x_1+x_2)^2}{(2-x_1-x_2)^2}$$

分母を払った以下を示せばよい。 $$\begin{aligned} &x_1x_2(4+x_1^2+x_2^2-4x_1-4x_2+2x_1x_2)\\ &\quad\quad\leq(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)(1-x_1-x_2+x_1x_2) \end{aligned}$$

展開して左辺に集めた以下を示せばよい。 $$2x_1x_2-x_1^2x_2-x_1x_2^2-x_1^2-x_2^2+x_1^3+x_2^3\leq 0$$

左辺を整理した以下を示せばよい。 $$x_1^3+(-1-x_2)x_1^2+(2x_2-x_2^2)x_1+x_2^3 \leq 0$$

$x_1=x_2$ のときに左辺が $0$ であることに気づくと，左辺は $(x_1-x_2)$ を因数に持つことがわかる。左辺を $(x_1-x_2)$ で割って因数分解すると，

$$\begin{aligned} (x_1-x_2)(x_1^2-x_1-x_2-x_2^2) &=(x_1-x_2)(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)\\ &=(x_1-x_2)^2(x_1+x_2-1) \end{aligned}$$

これは，$0\leq x_1,x_2\leq \dfrac{1}{2}$ のもとで $0$ 以下となる。

$x_1$ から $x_n$ のうちいずれか1つでも $0$ の場合，$G=0$ で $A,G',A'>0$ より成立する。以下では，各 $x_i$ は正とする。

$f(x)=\log \dfrac{x}{1-x}$ とおくと，$f(x)$ は $0 < x \leq\dfrac{1}{2}$ において上に凸な関数である。

実際，この範囲で $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}$，$f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(1-x)^2} < 0$ である。

よって，イェンゼンの不等式より， $$\dfrac{1}{n}\{f(x_1)+\dots +f(x_n)\}\leq f\left(\dfrac{x_1+\dots +x_n}{n}\right)$$

この不等式の左辺は，

$$\begin{aligned} &\dfrac{1}{n}\log (x_1\cdots x_n)-\dfrac{1}{n}\log\{(1-x_1)\cdots(1-x_n)\}\\ &=\log G-\log G' =\log\dfrac{G}{G'} \end{aligned}$$

右辺は， $f(A)=\log\dfrac{A}{1-A}=\log\dfrac{A}{A'}$ である。よって，両辺の $\log$ を外すと $\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}$ となる。