ライプニッツの不等式の３通りの証明

$S=\dfrac{abc}{4R}$ およびヘロンの公式より，示すべき不等式は，

$$9a^2b^2c^2\geq 16(a^2+b^2+c^2)s(s-a)(s-b)(s-c)$$

である。右辺のヘロンの公式の部分を気合いで展開すると（注1）$a^2,b^2,c^2$ だけで表せることが分かり， $A=a^2,B=b^2,C=c^2$ とおくと以下のようになる。

$$9ABC\geq (A+B+C)(2AB+2BC+2CA-A^2-B^2-C^2)$$

ここでもう一度気合いで展開すると $$A^3+B^3+C^3+3ABC \geq A^2B+AB^2+B^2C+BC^2+C^2A+CA^2$$

となりSchurの不等式そのものなので成立する。

中線定理より $$\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)$$ である。整理することで $$\begin{aligned} \mathrm{AM}^2 &= \dfrac{\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2\mathrm{BM}^2}{2} \\ &= \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4} \end{aligned}$$ を得る。

$\dfrac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}} = \dfrac{2}{3}$ であるため $$\mathrm{AG}^2 = \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9}$$ である。

同様に $\mathrm{BG},\mathrm{CG}$ も計算できる。

$$3R^2 = \mathrm{AO}^2 + \mathrm{BO}^2 + \mathrm{CO}^2$$ である。

前述した事実を $\mathrm{P} = \mathrm{O}$ で考えると $$\begin{aligned} 3R^2 &= \mathrm{AO}^2 + \mathrm{BO}^2 + \mathrm{CO}^2 \\ &\geqq \mathrm{AG}^2 + \mathrm{BG}^2 + \mathrm{CG}^2\\ &= \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{9} \\ &\quad + \dfrac{2c^2+2a^2-b^2}{9} \\ &\quad+ \dfrac{2a^2+2b^2-c^2}{9}\\ & = \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} \end{aligned}$$ が成り立つ。

辺々払って $$9R^2 \geqq a^2+b^2+c^2$$ を得る。

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とおくと，

• 定義より，$\mathrm{AO}=R$
• 三平方の定理より，$\mathrm{MO}^2=R^2-\dfrac{a^2}{4}$
• 中線定理より，$\mathrm{AM}^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

よって，スチュワートの定理または余弦定理を用いて $\mathrm{OG}$ を求めることができる。

今回は余弦定理によって計算してみよう。まず $$\cos \angle \mathrm{OAM} = \dfrac{\mathrm{OA}^2 + \mathrm{AM}^2 - \mathrm{OM}^2}{2\mathrm{OA} \cdot \mathrm{AM}}$$ となる。同じく余弦定理によって $$\begin{aligned} \mathrm{OG}^2 &= \mathrm{OA}^2+\mathrm{AG}^2 -2 \mathrm{OA} \cdot \mathrm{AG} \cos \angle \mathrm{OAM}\\ &= \mathrm{OA}^2 + \dfrac{4}{9}\times \mathrm{AM}^2\\ &\quad - 2 \mathrm{OA} \cdot \mathrm{AG} \cdot \dfrac{\mathrm{OA}^2 + \mathrm{AM}^2 - \mathrm{OM}^2}{2\mathrm{OA} \cdot \mathrm{AM}}\\ &= \mathrm{OA}^2 + \dfrac{4}{9}\times \mathrm{AM}^2\\ &\quad - \dfrac{2}{3} \left( \mathrm{OA}^2 + \mathrm{AM}^2 - \mathrm{OM}^2 \right)\\ &= \dfrac{1}{3} \mathrm{OA}^2 -\dfrac{2}{9}\mathrm{AM}^2 + \dfrac{2}{3} \mathrm{OM}^2\\ &= \dfrac{1}{3} R^2 - \dfrac{2}{9} \times \dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4} + \dfrac{2}{3} \left( R^2-\dfrac{a^2}{4} \right) \\ &= R^2 - \dfrac{1}{9} (a^2+b^2+c^2) \end{aligned}$$ を得る。ただし途中，重心の性質 $\dfrac{\mathrm{AG}}{\mathrm{AM}} = \dfrac{2}{3}$ を用いた。

$$OG^2=R^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{9}$$

よってライプニッツの不等式が成立する。

正弦定理より示すべき不等式は以下と同値：

$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leq \dfrac{9}{4}$$

さらに，倍角の公式 $\sin^2 A=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$ などより，以下と同値である。

$$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\dfrac{3}{2}$$

これはKlamkinの不等式を知っていれば一発。

知らない場合はもう少し頑張る。三角形の内角における和積公式の $\cos$ 積和より，この式は以下と同値。

$$-1-4\cos A\cos B\cos C\geq -\dfrac{3}{2}$$

整理する。

$$\cos A\cos B\cos C\leq \dfrac{1}{8}$$

鈍角三角形または直角三角形のときは左辺は $0$ 以下になるので，OK。

また，鋭角三角形のときは，相加相乗平均の不等式と（$\cos$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ の間で上に凸なので）イェンゼンの不等式を使えば証明できる。

$$\begin{aligned} &\cos A\cos B\cos C\\ &\leq \left(\dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3}\right)^3\\ &\leq \left\{\cos\left(\dfrac{A+B+C}{3}\right)\right\}^3=\dfrac{1}{8} \end{aligned}$$