ライプニッツの不等式の３通りの証明

$S=\dfrac{abc}{4R}$ およびヘロンの公式より，示すべき不等式は，

$$9a^2b^2c^2\geq 16(a^2+b^2+c^2)s(s-a)(s-b)(s-c)$$

である。右辺のヘロンの公式の部分を気合いで展開すると（注1）$a^2,b^2,c^2$ だけで表せることが分かり， $A=a^2,B=b^2,C=c^2$ とおくと以下のようになる。

$$9ABC\geq (A+B+C)(2AB+2BC+2CA-A^2-B^2-C^2)$$

ここでもう一度気合いで展開すると $$A^3+B^3+C^3+3ABC \geq A^2B+AB^2+B^2C+BC^2+C^2A+CA^2$$

となりSchurの不等式そのものなので成立する。

辺 $BC$ の中点を $M$ とおくと，

• 定義より，$AO=R$
• 三平方の定理より，$MO^2=R^2-\dfrac{a^2}{4}$
• 中線定理より，$AM^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

よって，スチュワートの定理または余弦定理を用いて $OG$ を求めることができる。（計算の詳細は省略）

$$OG^2=R^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{9}$$

よってライプニッツの不等式が成立する。

正弦定理より示すべき不等式は以下と同値：

$$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\leq \dfrac{9}{4}$$

さらに，倍角の公式 $\sin^2 A=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$ などより，以下と同値である。

$$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C \geq -\dfrac{3}{2}$$

これはKlamkinの不等式を知っていれば一発。

知らない場合はもう少し頑張る。三角形の内角における和積公式の $\cos$ 積和より，この式は以下と同値。

$$-1-4\cos A\cos B\cos C\geq -\dfrac{3}{2}$$

整理する。

$$\cos A\cos B\cos C\leq \dfrac{1}{8}$$

鈍角三角形または直角三角形のときは左辺は $0$ 以下になるので，OK。

また，鋭角三角形のときは，相加相乗平均の不等式と（$\cos$ は $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ の間で上に凸なので）イェンゼンの不等式を使えば証明できる。

$$\begin{aligned} &\cos A\cos B\cos C\\ &\leq \left(\dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3}\right)^3\\ &\leq \left\{\cos\left(\dfrac{A+B+C}{3}\right)\right\}^3=\dfrac{1}{8} \end{aligned}$$